Adatok gyűjtésének és értékelésének módszerei

dB	deciBell, a hangnyomásszint mértékegysége
WGS84	A GPS által használt vonatkoztatási rendszer
GPS	global positioning system (globális helymeghatározó rendszer)
EOV	egységes országos vetület
b	kiindulási (bázis) érték jelölése
bi	bázis-viszonyszám értéke az i. adatra
y	statisztikai adat illetve egyed (elemi információegység)
yi	az i. adat
li	lánc-viszonyszám értéke az i. adatra
Vm	megoszlási viszonyszám
n	elemek száma
Vi	intenzitási viszonyszám
fi	abszolút gyakoriság
gi	relatív gyakoriság
xi	osztályközép értéke
Yi0	az i. osztályköz alsó határértéke
Yi1	az i. osztályköz felső határértéke
hi	hosszúsága
k	osztályközök száma
	abszolút kumulált gyakoriság
	relatív kumulált gyakoriság

Jelen jegyzet a leendő fenntartható fejlődés szakértő hallgatók számára a szükséges részletességig ismerteti az adatgyűjtés és –értékelés matematikai hátterére, ugyanakkor a fenntartható fejlődés témaköréből választja a példákat, és azokon keresztül mutatja be adatok felhasználásának módját és lehetőségeit.

A környezetvédelmi elemzések során rendszerint hatalmas mennyiségű – jellemzően – számadat keletkezik. Az emberi agy felépítéséből következően inkább analitikus, elemző munkára képes, mint manuális, monoton számítások elvégzésére. e összhangot kell találni az emberi gondolkodás és a gépi számítások között. Ebben szintén segítséget nyújt e könyv, bemutatva mit lehet a gépre bízni és mi az amit emberi elmére.

A jegyzet elektronikus tanulásra készült és feltételezi, hogy megfelelő számítógépes alapismeretekkel rendelkezik a felhasználó a példák LibreOffice (régebben OpenOffice) Calc vagy Microsoft Office Excel szoftveren történő gyakorlására. Az anyag megértéséhez – mivel bármilyen felsőfokú végzettséggel rendelkező hallgató számára érthető kíván maradni – csak alapvető matematikai ismeretekkel kell rendelkezni. Éppen ezért az anyag egy része a mérnök és gazdálkodás szakon végzettek számára már ismert lehet, de a példák környezetvédelmi vonatkozásai miatt nekik is célszerű átolvasni e részeket.

A digitális technológia kiszélesíti a tanulási lehetőségeket, és egyben meg is változtatja a tanítási módszereket. Az elektronikus tananyagoknak mindenekelőtt felhasználóbarátnak kell lenniük, hiszen ha nem élvezetes a velük való foglalkozás az elveheti a hallgatók kedvét a tanulástól, az adott témától, anyagrésztől.

Az anyagból meg fogjuk ismerni az adatokkal való dolgozás buktatóit és hogyan vehetjük észre e csapdákat. Megismerjük, hogyan lehet ugyanabból a hiteles mérési adatsorból kiindulva „bizonyítani”, hogy a légszennyezés egy településen 50%-kal nőtt és azt is, hogy 30%-kal csökkent; és azt is hogyan lehet az ilyen típusú adatfeldolgozásokat felismerni.

3. fejezet - Nagy mennyiségű adatok feldolgozásának statisztikai alapjai

Tartalom

Alapfogalmak

Sokaság
Ismérv (attribútum)
Mérés
Statisztikai sor

Viszonyszámok

Dinamikus viszonyszám
Megoszlási viszonyszám
Intenzitási viszonyszám
Számításértelmezési feladat

Eloszlás-elemzés

Gyakorisági sorok
Kvantilisek
Középérték

Statisztikai mutatók

Terjedelem
Statisztikai momentumok

A világunkat a számok mozgatják. Mégis egyre többen vannak, akik idegenkednek a számok világától és nem értik vagy nem akarják érteni azok jelentését. A természet és a világgazdaság folyamatainak megértéséhez elengedhetetlenül szükséges a számok elemzésének ismerete, a statisztika. E fejezet célja, hogy közérthetően, példákkal szemléltetve megismertesse az olvasóját a statisztika alapjaival. Nem célja, hogy statisztikusokat képezzen, ezért csak szemezget a mindennapi életben leggyakrabban előforduló ismeretekből. Ezen ismeretekkel könnyebben kivédhetjük azt a – sajnos – egyre gyakoribb tapasztalatot, hogy mind több és több gazdasági és politikai szereplő kihasználja az emberek statisztikai hiányosságait. Ez legtöbbször abban nyilvánul meg, hogy olyan összefüggéseket hitetnek el velünk, amilyeneket – ha nem a számok nyelvén mondanák – senki nem hinne el.

Alapfogalmak

Mi is a statisztika? A következő két megfogalmazás két híres magyartól származik:

Lukács Ottó: „Tapasztalati adatokból (mintákból) következtetni az egész sokaság valószínűségeire, eloszlás- és sűrűségfüggvényeire, azok paramétereire.”
Besenyei Lajos: „A valóság tényeinek tömegét tömören, a számok nyelvén jellemző tudományos módszertan illetve gyakorlati tevékenység.”

Mindkét állítás jól leírja a lényeget, de Besenyei megfogalmazása közelebb áll a környezetvédelemmel, a fenntartható jövővel foglalkozó szakemberek munkájához. Az adatokkal való munka során célunk a valóság folyamatainak elemzése, amit legtöbbször a jövőre vonatkozó becslések követnek. Ahhoz, hogy megértsük, a statisztika alapjait néhány fogalmat tisztázni kell:

Sokaság (populáció): A vizsgálat (megfigyelés) tárgyát alkotó egyedek összessége. Napjainkban egyre többször azonosítjuk az adat megnevezéssel. Ezen irányzat a számítástechnika előretörésével egyre inkább terjed.
Megfigyelési egység: amelyre/akire a megfigyelés irányul
Számbavételi egység: amely/aki információt szolgáltat a megfigyelési egységre vonatkozóan

Sokaság

Az adatokkal való munka egyik kulcslépése, hogy képesek legyünk besorolni az adatunkat a megfelelő sokasági kategóriákba. E kategóriák a következő képen oszthatóak fel:

Vonatkozás szerint
- Időpontra: Egy jól meghatározható időpontra (tegnap, tavaly, 1974.09.01-én, stb).
- Időtartamra: Két időpont között (hétfőtől péntekig, 1974-2000-ig). De például tavaly január 1-től december 31-ig szintén időtartam, bár megegyezik az időpontban példaként felsorolt „tavaly” fogalommal. A különbség: itt a 365 darab napot értjük rajta, míg az időpontnál a teljes évet, mint „év” vesszük figyelembe.
Érték szerint
- Diszkrét: Ide tartoznak, azok az adatok, amelyek már nem változnak meg az idő előrehaladtával. Időpontra és időtartamra is vonatkozhat. Például a települések száma egy adott időpontban vagy a tavalyi évben (időtartam) bejelentett szmog-riadók száma egy településen.
- Folytonos: Ezen adatoknál csak az adott pillanatig bekövetkezett eseményeket tudjuk számszerűsíteni, amely akár már a következő időpillanatban megváltozhat. Vonatkozhat időpontra és időtartamra is. Például: szmogos napok száma idén (időtartam) vagy jelenleg belvízzel borított területek mérete (időpont).
Típusra:
- Álló (állomány): Ebben az esetben a sokaság egy darab jó meghatározható értékből áll, ami önmagában is értelmezhető. Csak időpontra vonatkozhat. Például a talaj-közeli ózon napi átlagos töménysége tegnap (időtartam esetén) vagy talaj-közeli ózon jelenlegi átlagos töménysége (időpont esetén).
- Mozgó (áramlás): E típus esetén egy adattömeggel dolgozunk, amely azonos jelenségnek írja le az időbeni változását. Csak időtartamra vonatkozhat. Például a talaj-közeli ózon óránkénti átlagos töménysége (időtartam).

A sokasági kategóriába történő besorolást nagy mértékben segíti ha pontosan utánajárunk az adatok forrásának és jelentésének. E megállapítás bár köznapinak tűnik, nem szabad könnyelműen kezelni: nagyon sokszor még a gyakorlott tudósok is gondban vannak egy adat jelentésének megállapításánál. Ennek oka, hogy számos adatközlő nem tájékoztat arról, hogy pontosan mit is takar az adott adat (hogyan mérték, milyen pontosságú a műszer, stb.).

Ismérv (attribútum)

Az ismérv a sokaság egységeit jellemző tulajdonság vagy az adott szempont szerint lehetséges tulajdonságok halmaza. Gyakorlatilag olyan szempontok, amelyek alapján a sokaság egymást át nem fedő részekre bontható.

Az egyes ismérvkategóriákra adható válaszok az ismérvváltozatok, amelyek lehetnek megszámlálhatóak (például a kémhatás csak savas, lúgos vagy semleges lehet, de a NOX töménység értéke – majdnem – bármilyen nagy szám lehet és csak a mérés pontosság határozza meg, hogy hány változata fordulhat elő). Azoknál az ismérvváltozatoknál, ahol csak két változat van, alternatív ismérvnek is hívjuk. A mennyiségi ismérvek ismérvváltozatait ismérvértéknek is nevezhetőek.

Az ismérveket több féle képen csoportosíthatjuk. Fő csoportosítás alapján lehet

közös (a sokaság minden tagjára igazak) vagy
megkülönböztető (az egyedek vagy azok egy csoportja elkülöníthető).

Ezen kívül jellemzőjük alapján négy csoportba soroljuk az ismérveket:

Tárgyi ismérvek
- Minőségi ismérv: A sokaság számszakilag, időponttal vagy térbeli adattal ki nem fejezhető (jellemzően azonosításukat szolgáló) ismérvei. Ilyen ismérv például a légszennyező anyag, ismérvváltozatai az NOX, O₃, CO₂, stb.para>
- Mennyiségi: A sokaság számokkal kifejezhető (mérhető) egyedei. A statisztika ezen ismérvekkel foglalkozik a leggyakrabban. Ilyen ismérv például a föld-közeli ózon töménysége.
Időbeli ismérv: A sokaság adott elemének időpontját tároló érték. Értéke lehet egy pontos időpont, de lehet időtartam is. Például a mérés ideje (időpont) vagy a mérés időtartama.
Területi ismérv: A sokaság adott elemének földrajzi rögzítésére szolgáló ismérv. Lehet számszerűsített (például a mérés GPS koordinátája), közismert nevekhez kötött (például Veszprém) vagy viszonylagos (például „a második emeleten”).

Mérés

Mérésnek az egységek számokkal való jellemzését értjük. A környezetvédelemben négy mérési skálát (szintet) használunk.

Nominális (névleges) mérési skála: Az egységekhez rendelt számértékek egyező vagy különböző voltát engedi meg. Például:
- Két talajminta higany töménysége azonos-e vagy sem. (Figyeljük meg a példát: az információból nem tudjuk magasabb-e, vagy alacsonyabb a higany töménysége, sem egyéb ismeretet.)
- Van-e higany a talajban vagy nincs.
Ordinális (sorrendi) mérési skála: Az egységek a tulajdonságok szerint rangsorba állíthatók. (Tudunk nagysági különbséget tenni közöttük. Tudjuk, hogy nagyobb, kisebb, de a mértékét nem.). Például:
- A talajminta higanytartalma alapján milyen szennyezettség-osztályba tartozik. (De nem tudjuk – vagy nem érdekes – az osztályok közötti pontos koncentráció-különbség.)
- A mérési adatok higanytartalom szerinti sorrendje. Ez esetben nem ismert az adatok közötti távolság.
Intervallum mérési skála: A rangsorba rendezett tulajdonságokat egyenlő közök választják el, de nem tudjuk a kezdőértéket. Figyeljünk rá, hogy a „0” is köznek számít! Például:
- A minta a 0-10 μg/kg, 10-20 μg/kg közötti higany töménységű talajok csoportjába tartozik-e? (De nem mondhatjuk, hogy a 20 μg/kg töménységű talaj kétszer szennyezettebb, mint a 10 μg/kg-os, mivel nem tudjuk mennyi a „tiszta” talaj higanytartalma.)
Arányskála: A kezdőpont egyértelműen adott és rögzített, s így a skálaértékek egymáshoz való aránya is meghatározható. Ezen skálába tartozó adatok valók teljes elemzési műveletek elvégzésére. Példa:
- Tudjuk, hogy mennyi a talaj általános higany koncentrációja.

Fontos, hogy a besorolásoknál nem az számít, hogy mi az adat tényleges információtartalma, hanem, hogy milyen információ érdekes számunkra. Például egy éjszakai szórakozóhely hangnyomásszintjének („zajosságának”) felmérése során percenként rögzítjük öt ponton, egy-egy órán keresztül a hangnyomásszinteket. Ez az adatsor nominális skálának számít, ha csak arra vagyunk kíváncsiak, hogy átlépte-e a megengedett hangnyomásszintet a létesítmény, vagy sem. Ugyan ez az adatsor ordinális skálának minősül, ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a hangnyomásszint milyen súlyos a zajszennyezés (nincs büntetés, pénzbüntetés, bezárás). Végül lehet intervallum vagy arányskála is, ha a mérési adatokat 10 dB-ként csoportosítjuk és tudjuk a hallásküszöb értékét is.

Statisztikai sor

A sokaság egységeinek bizonyos ismérvek szerinti csoportosítása, rendezése.

3.1. ábra - Statisztikai sorok fajtái (vastagon kiemelve a leggyakoribb előfordulás)

A benne szereplő adatok összegezhetősége szerint lehet:

Csoportosító statisztikai sor: adatai összegezhetők, számszakilag értelmezhetők (például árvízzel borított területek összes felülete).
Összehasonlító sor: adatai nem összegezhetők, számszakilag értelmetlen (például a minta színe)

A sorban szereplő adatok fajtái szerint:

idősor: időbeli ismérv alapján csoportosítva az adatokat
- állapot idősor: Adatai számszakilag nem összegezhetők, egy adott időpontra vonatkoznak (például a mérés időpontja 2011.12.20. 08:15).
- tartam idősor: Adatai számszakilag összegezhetőek (de nem felétlenül értelmesek is az összegzés után!), adatai időtartamra vonatkoznak (például az egymás követő mérések időtartama).
minőségi sor: Az adatoknak minőségi ismérv szerinti rendezése (például a minta szaga).
mennyiségi sor: Az adatoknak mennyiségi ismérv szerinti rendezése (például a hangnyomásszint mért értéke).
területi sor: Az adatok területi hovatartozást jelentenek.
- nevesített területi sor: A területi adatok nem számszerűsített formában állnak rendelkezésre. Ilyen adat például: „a mérés a gyárkapu előtt történt”.
- geokódolt területi sor: A területi adatok számszerűsített (geokódolt) formában állnak rendelkezésre, amelyekkel térbeli műveletek végezhetőek (például vektorműveletek). Ilyen adat jellemzően WGS84 („GPS”) vagy EOV koordináta.
leíró sor: Ebbe a kategóriába azok a sorok tartoznak, ahol egy mérés különböző tulajdonságát soroljuk fel. Jellemzően ezek az adatok a „megjegyzés” rovatban szoktak feltüntetésre kerülni egy mérés során.

Viszonyszámok

Amikor két adatot vagy adatcsoportot szeretnénk összehasonlítani, akkor két vizsgált érték hányadosát statisztikai viszonyszámnak nevezzük. Az általunk érintett témakörben három viszonyszámot használunk nagy gyakorisággal:

Összehasonlító sorból: összehasonlítási viszonyszám (dinamikus, területi)
Csoportosító sorból: megoszlási viszonyszám
Leíró sorból: intenzitási viszonyszám számítható.

Dinamikus viszonyszám

Két időszak adatának hányadosa. Csak idősorokból lehet számítani, a számított eredmény az idősor két adatának egymáshoz való aránya. A két adatot tárgy időszaknak (időben a vizsgálat céljához közelebbi adat) és bázis időszaknak (időben a vizsgálat céljától távolabbi adat)

Ha több időszakunk van (például egy év napi átlagos hőmérséklet adatai), akkor az viszonyíthatjuk egymáshoz (láncviszonyszám), vagy az időben első adathoz, amit bázisnak nevezünk (bázisviszonyszám). Számításuk a következő:

Bázis-viszonyszám: b_i = y_i / y_b
Láncviszonyszám: l_i = y_i / y_i-1

A két viszonyszám egymásból is számítható a következő képletekkel:

Bázisviszonyszámból láncviszonyszám:

Láncviszonyszámból bázisviszonyszám:

Megoszlási viszonyszám

Egy adott sokaságból egy kiválasztott tartomány része. Értéke megmutatja, hogy a sokaságban milyen súllyal találhatók az adott csoport tagjai. Ezt a viszonyszámot használjuk leggyakrabban, ha valamilyen esemény előfordulásának gyakoriságára vagyunk kíváncsiak.

Számítása:

vagy

Számítása táblázatkezelő rendszerben:

3.1. táblázat - Megoszlási viszonyszám számítása táblázatkezelő rendszerben

	A	B
1	Minta azonosítója	Szennyezett?
2	AD231	igen
3	AB322	nem
4	AS231	nem
5	AB343	nem
6	AA231	igen
7	Megoszlási viszonyszám a szennyezett mintára:	KÉPLET*

*ahol a képlet helyére a következőt kell írni, MS Office és LibreOffice esetében egyaránt:

=DARABTELI(B2:B6;"igen")/DARAB2(B2:B6)

Intenzitási viszonyszám

Egy adott sokaság egészéből (pl. városok) egy másik sokaság egészére (pl. lakosság) mennyi jut. Célja, hogy meghatározhatjuk a sokaság egyedeit érő átlagos terhelést vagy megoszlást. (Ne keverjük össze a MEGOSZLÁSSAL!)

Számítása:

vagy

A számítás során az osztóban szereplő adatot a statisztikai gyakorlat – a könnyebb kezelhetőség érdekében - sok esetben nagyobb egységként veszi figyelembe. Például a második számítási minta esetében sokkal gyakoribb, hogy az osztó nem fő, hanem ezer fő. Ezzel egynél nagyobb számot tudunk kapni, amit könnyebben értelmezünk.

Számításértelmezési feladat

Egy vizsgáljuk meg, hogyan alakul a szmog-riadót hirdetett napok száma egy településen. Az adatok a következőek:

3.2. táblázat - Szmogriadók száma 2008-2011 között

Év	Szmog-riadók száma (nap)
2008	3
2009	6
2010	8
2011	5

Számítsuk ki a 2008-hoz, mint bázisévhez viszonyítva 2011 viszonyszámát:

Számítsuk ki 2011 láncviszonyszámát 2010-es évhez képest:

Mit olvashatunk ki a számokból? Ha 2011-et vizsgáljuk, akkor írhatunk egy újságcikket, amiben megállapíthatjuk – és számszakilag bizonyíthatjuk is –, hogy a szmog-riadós napok száma több mint másfélszeresére nőtt (bázisviszonyszám) de írhatunk olyat is, hogy a szmog-riadós napok száma több mint harmadával csökkent (láncviszonyszám). Ezen egyszerű példa is jól megvilágítja, hogy a statisztika kétélű tudományos módszer, amellyel szándékosan vissza lehet élni, de tudatlanságunkból fakadóan akaratlanul is félrevezethetjük magunkat és másokat.

Ahhoz, hogy az ilyen félreértelmezéseket elkerüljük:

Mindig tisztába kell lennünk az adatok forrásával: sok vizsgálat esetében attól függően, hogy milyen szabvány, milyen metódus szerint végezzük a mérést máshogy és máshogy értelmezendő adatokat kapunk. Kiemelten igaz ez a nagy léptékű társadalmi és gazdasági események mérésére, ahol nem homogén és nagyon nagy méretű a minta, ezért csak (reprezentatív) mintavétellel lehet mérni.
Lehetőleg az adatoknak a környezetét is ismerjük meg. Mint azt előző példafeladat alapján is látjuk, ha csak két adatot ismerünk, akkor nagyon könnyen belefuthatunk a folyamat egészére nem jellemző rendellenességbe, mérési hibába, váratlan eseménybe.
Értelmezzük az eredményt! Például ha csak annyit olvasunk, hogy a viszonyszám nézzük meg lánc- vagy bázisviszonyszám-e. Ha az olvassuk „arány”, akkor nézzük meg minek is az aránya? Egyáltalán összehasonlítható a két adat? Mialatt ezeket a kérdéseket feltesszük magunkban és megkeressük rá a választ az esetek döntő hányadában megbizonyosodhatunk arról, hogy megfelelően feldolgozott adattal van-e dolgunk.

Eloszlás-elemzés

A környezetvédelemben és általában a természettudományokban nagy szerep jut az empirikus eloszlásoknak. Amely a megfigyelések (kísérletek) eredményeként kapott adatok eloszlását jelenti. Amikor nem – csak – valós megfigyelések eredményeiről van szó, azt elméleti elosztásnak nevezzük és a valószínűség-számítás tárgykörébe tartozik.

Az eloszlás elemzés legfontosabb eszközei a következők:

Gyakorisági sorok
Kvantilisek
Középértékek
Szóródás

Gyakorisági sorok

Valamely sokaságnak egy mennyiségi ismérv szerinti csoportosítása. Segítségével különösen a nagy mennyiségű adatok kezelésénél tudjuk könnyebben áttekinteni sokaságot. Célja, hogy a sokaság összetételéről kapjunk áttekintést. Leggyakrabban osztályközös gyakoriság formájában használjuk.

Az osztályközös gyakoriság alapvetése a következő: Vegyünk egy Y ismérv valamely N számú egységéhez tartozó Y₁,Y₂,…Y_n változatait (ezek lehetnek számszerűek és nem számszerűek is). Legyen az Y ismérv különbség- vagy arányskálán mért számérték Az Y neve változó, az Y_i-ket pedig (ismérv)értékeknek nevezzük. Rendezzük sorba monoton nem csökkenő módon. Ezt nevezzük rangsornak. Nagy N esetén osztópontok kijelölésével a rangsort feldaraboljuk, ezek a részek az osztályközök. Osztályközökkel szembeni fontos követelmény, hogy azok nem fedik át egymást és az osztályközök összessége lefedi a teljes sokaságot.

3.3. táblázat - Osztályközös gyakoriság alaptáblázata

Az Y szerint képzett osztály		Osztályközép	Abszolút f_i	Relatív g_i
alsó	felső	x_i	gyakoriság
határa		x_i	gyakoriság
Y₁₀ Y₂₀ : Y_i0 : Y_k0	Y₁₁ Y₂₁ : Y_i1 : Y_k1	x₁ x₂ : x_i : x_k	f₁ f₂ : f_i : f_k	g₁ g₂ : g_i : g_k
Összesen			N	1 (100%)

Az osztályközös gyakoriság esetében használt fogalmak a következőek:

Az abszolút gyakoriság (jele: f_i) megadja, hogy az adott osztályba hány darab egység tartozik sokaságból.
A relatív gyakoriság (jele: g_i) megadja, hogy az adott osztályba tartozó elemek milyen súllyal szerepelnek a sokaságban. Számítása: g_i=f_i / N;
Az osztályközép értéke kifejezi az adott osztályköz középértékét. Számítása: x_i=1/2 × (y_i0 + y_i1);
Az osztályköz hosszúság értéke az adott osztályköz két határértékének távolsága. Számítása: h_ii=y_i1-y_i0;

Első kérdés, amit el kell dönteni, hogy hány osztályközt alkossunk? A legjobb megoldás, ha az adatok ismeretében magunk határozzunk meg a szükséges osztályközök számát, de ez általában nem lehetséges. Ezért a

(amiből )

képlettel határozzuk meg a közelítő osztályköz-számot, amit szükség esetén kézzel korrigálunk.

Ha egyenletes osztályközöket akarunk képezni, akkor az osztályköz hossza:

Ha egyenetlen az adatok megoszlása, akkor egyenlőtlen közöket alkalmazunk:

ahol sz – az ismérvérték utolsó fontos számjegyének helyértéke.

Osztályközös gyakoriság számításának lépései

Y legyen a veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatai a tegnapi napra. (N = 24; Y1 jelentse az 1. óra átlagát, Y2 jelentse a 2. óra átlagát, stb.)

3.4. táblázat - Veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatai

Időpont	Ismérv	Érték	Rangsort készítünk →	Rangsor
0-1	Y1	40		35
1-2	Y2	45		36
2-3	Y3	43		36
3-4	Y4	36		38
4-5	Y5	39		39
5-6	Y6	46		39
6-7	Y7	51		40
7-8	Y8	57		43
8-9	Y9	93		43
9-10	Y10	98		45
10-11	Y11	67		45
11-12	Y12	56		45
12-13	Y13	45		46
13-14	Y14	56		51
14-15	Y15	35		54
15-16	Y16	76		56
16-17	Y17	89		56
17-18	Y18	92		57
18-19	Y19	54		67
19-20	Y20	45		76
20-21	Y21	43		89
21-22	Y22	38		92
22-23	Y23	39		93
23-24	Y24	36		98

Osztályközök száma:

Számítása táblázatkezelő rendszerben: A kiválasztott adatsort nagyság szerint kell rendezni.

Ezt a feladatot MS Office esetén az adatok kijelölése után a következő gombbal tudjuk megtenni:

3.2. ábra - Adatok rendezésének gombja MS Excelben

Ugyanezt a feladatot a LibreOffice-ban az adatok kijelölése után a következő gombbal tudjuk megtenni:

3.3. ábra - Adatok rendezésének gombja LibreOfficeban

Egyenletes osztályköz esetén:

Az osztályköz táblázat a következő képen néz ki egyenletes osztályköz esetén:

3.5. táblázat - Osztályköz táblázat egyenletes osztályköz esetén

Y_i0	Y_i1	X_i	f_i	g_i
35	47	41	13	~0,54
48	60	54	5	~0,21
61	73	67	1	~0,04
74	86	80	1	~0,04
87	99	93	4	~0,17
			24	1

Kumulálás (halmozott összeadás)

A kumulálás célja, hogy meghatározzuk hány darab adatunk (mintánk) értéke

kisebb vagy egyenlő (felfelé kumulált gyakoriság) illetve
nagyobb vagy egyenlő (lefelé kumulált gyakoriság)

mint a vizsgált osztályköz. A kumulált gyakoriság jele: f_i'; A kumulált gyakoriságot lehet abszolút gyakoriságból és relatív gyakoriságból is számolni.

A kumulált gyakoriság igen gyakran használt mérőszám, ha arra vagyunk kíváncsiak, hogy a mérések közül hány darab lépte át az adott vizsgálathoz tartozó környezetvédelmi határértéket (vagy éppen maradt alatta).

A kumulálás menete a következő:

Felfelé kumulálás esetén: azaz ahhoz, hogy az abszolút felfelé kumulált gyakoriság értékét megkapjuk minden sorban összeadjuk az adott sor és a megelőző sorok abszolút gyakorisági (fi) értékeit.

Lefelé kumulálás esetén: azaz ahhoz, hogy az abszolút lefelé kumulált gyakoriság értékét megkapjuk minden sorban összeadjuk az adott sor és a megelőző sorok abszolút gyakorisági (fi) értékeit, majd a kapott értéket kivonjuk a mintaszámból (n).

Példa: Kumulált gyakoriság

A veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOX töménység-mérési adatait alapként használva (lásd: Osztályközös gyakoriság számításának lépései) a következő eredményt kapunk:

3.6. táblázat - Kumulált gyakoriság

Y_i0	Y_i1	X_i	f_i	felfelé kumulált gyakoriság (f'_i)	lefelé kumulált gyakoriság (f' _i)
35	47	41	13	13	24
48	60	54	5	13+5=18	24-13=11
61	73	67	1	13+5+1=19	24-13-5=6
74	86	80	1	13+5+1+1=20*	24-13-5-1=5**
87	99	93	4	13+5+1+1+4=24	24-13-5-1-1=4

A felfelé kumulált gyakoriság számítása mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő:

3.7. táblázat - Felfelé kumulált gyakoriság számítása

	A	B	C	D	E
1	Yi0	Yi1	Xi	fi	felfelé kumulált gyakoriság (f’i)
2	35	47	41	13	=SZUM($D$2:D2)
3	48	60	54	5	=SZUM($D$2:D3)
4	61	73	67	1	=SZUM($D$2:D4)
5	74	86	80	1	=SZUM($D$2:D5)
6	87	99	93	4	=SZUM($D$2:D6)

Megjegyzés: Elég az E2 cellába megírni a képletet, utána le lehet húzni az összes többi cellába.

A lefelé kumulált gyakoriság számítása mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő:

3.8. táblázat - Lefelé kumulált gyakoriság számítása

	A	B	C	D	E
1	Yi0	Yi1	Xi	fi	felfelé kumulált gyakoriság (f’i)
2	35	47	41	13	=SZUM($D$2:D6)
3	48	60	54	5	=SZUM($D$2:$D$6)-SZUM($D$2:D2)
4	61	73	67	1	=SZUM($D$2:$D$6)-SZUM($D$2:D3)
5	74	86	80	1	=SZUM($D$2:$D$6)-SZUM($D$2:D4)
6	87	99	93	4	=SZUM($D$2:$D$6)-SZUM($D$2:D5)

Megjegyzés: Elég az E2 és az E3 cellába megírni a képletet, utána az utóbbit le lehet húzni az összes többi cellába.

Példa: Relatív kumulált gyakoriság

A veszprémi légszennyezettség-mérő állomás órás NOx töménység-mérési adatait alapként használva (lásd: Osztályközös gyakoriság számításának lépései) a következő eredményt kapunk:

3.9. táblázat - Relatív kumulált gyakoriság

Y_i0	Y_i1	X_i	g_i	felfelé kumulált relatív gyakoriság (g’_i)	lefelé kumulált relatív gyakoriság (g’_i)
35	47	41	~0,54	0,54	1,00
48	60	54	~0,21	0,54+0,21=0,75	1,00-0,54=0,46
61	73	67	~0,04	0,54+0,21+0,04=0,79	1,00-0,54-0,21=0,25
74	86	80	~0,04	0,54+0,21+0,04+0,04=0,83	1,00-0,54-0,21-0,04=0,21
87	99	93	~0,17	0,54+0,21+0,04+0,04+0,17=1,00	1,00-0,54-0,21-0,04-0,04=0,17

Táblázatkezelő rendszerekben történő számítása megegyezik a kumulált gyakoriság (f’_i) számításával.

Értékösszegsor

Az osztályközökhöz az azokba tartozó egységek ismérvértékeinek szorzatát rendeli. A mennyiségi ismérv értékeinek egyes osztályokon (osztályközökön) belüli összegeit értékösszegnek nevezzük.

Az értékösszeg gyakorlatilag az osztályköz ismérvvel súlyozott értékét adja meg. Ez önmagában is hasznos lehet, de az értékösszegsor környezetvédelemben leggyakrabban használt formája a relatív értékösszegsor (Z_i). Ebben az esetben az értékösszegeket a teljes értékösszegsorral arányosítjuk, így arányszám formájában kapjuk meg a súlyozások értékét:

Példa:

Egy terepi mérés során 1; 3 és 5 fős mérőcsoportokat küldtek ki. A csoportok száma rendre 3; 11 és 4 darab volt. Melyik létszámú mérőcsoportban mekkora összlétszám dolgozott? Mi volt a csoportokban dolgozók egymáshoz viszonyított aránya? Melyik a legnagyobb súlyú csoport?

3.10. táblázat - Mérőcsoportok

Mérőcsoport létszáma (fő) X_i	Csoportok száma (db) f_i	Mérésben résztvevők száma (fő) s_i	Relatív értékösszegsor Z_i
1	3	1*3=3	3/56=0,054
3	11	3*11=33	33/56=0,589
5	4	5*4=20	20/56=0,357
Összesen	18 db	56 fő	~1

A fenti feladatot mind MS Excel mind LibreOffice táblázatkezelő rendszerben a következő módon oldhatjuk meg:

3.11. táblázat - Értékösszegsor számítása.

	A	B	C	D
1	Mérőcsoport létszáma (fő) X_i	Csoportok száma (db) f_i	Mérésben résztvevők száma (fő) s_i	Relatív értékösszegsor Z_i
2	1	3	=A2*B2	=C2/$C$5
3	3	11	=A3*B3	=C3/$C$5
4	5	4	=A4*B4	=C4/$C$5
5	Összesen	18 db	=SZUM(C2:C4)	1

A példa kérdésére a válasz: A legnagyobb súlyú csoport (58,9%-os részesedéssel) a három mérőszemélyből álló mérőcsoport.

Kvantilisek

A kvantiliseknek nagyon jelentős szerepük van a környezetvédelmi gyakorlatban. A kvantilisek módszere az egyenlő gyakoriságú osztályközök képzése, amely az értékek elhelyezkedéséről gyors tájékoztatást ad. Típusait az osztályközök száma alapján határozzuk meg. Ezek közül többet a gyakori használat miatt nevesítve, egyedi jelöléssel is használunk:

3.12. táblázat - Kvantilisek.

Osztályközök száma (k)	Elnevezés	Jelölés	Lehetséges kvantilisek
2 4 5 10 100	Medián Kvartilis Kvintilis Decilis Percentilis	Me Qi Ki Di Pi	Me Q1, Q2, Q3 K1,K2,K3,K4 D1,D2,..,D9 P1,P2,..,P99

Osztályközök száma (k)

Elnevezés

Jelölés

Lehetséges kvantilisek

100

Medián

Kvartilis

Kvintilis

Decilis

Percentilis

Q1, Q2, Q3

K1,K2,K3,K4

D1,D2,..,D9

P1,P2,..,P99

A kvantilis meghatározása a következő: Az (i. k-ad rendű kvantilis szám az a szám, amelynél az összes előforduló ismérvérték -ad része kisebb, -ad része nagyobb ( és i=1,2,…,k-1). Az hányadost p-vel jelöljük,míg a Y_p kvantilis neve p-ed rendű kvantilis. A kvantilis értékek nem feltétlenül léteztek a sorban korábban, ebben az esetben a kvantilis értékei innentől beletartoznak a sorba.

A számítás menete a következő:

1) Első lépésben meg kell határoznunk a kvantilis osztópontját (sorszámát).

Az osztópontok száma gyakorlatilag az osztályközök számánál eggyel kisebb, azaz a medián esetén 1, kvartilis esetén 3. Ennek oka, hogy ezek a pontok határozzák meg az osztályközök töréspontjait. Fontos kiemelni, hogy ezek nem valóságos sorszámok (ezért is hívjuk őket osztópontoknak), hanem csak segédértékek. Így nem okoz gondot, hogy az esetek nagy részében ezek értéke nem egész szám.

Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén a kvartilis osztópontok számítása a következő:

2) Ha meghatároztuk az osztópontok értékeit, akkor ki kell számolni, hogy ezek az osztópontok milyen konkrét értékekhez tartoznak, azaz mekkorák a kvantilis értékei:

Ezek az értékek az esetek többségében nem voltak meg az eredeti értéksorban, de kiszámításuk után már részei lesznek (azaz megnövelik a sor darabszámát).

Példa:

Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból az előbb kiszámolt három kvartilis osztópont adatait felhasználva az osztópontok értékei a következők:

Az eredeti adattábla a következő:

3.13. táblázat - Kvantilisek meghatározásához kiindulási adattábla.

i	Y_i	i	Y_i	i	Y_i
1	35	9	43	17	56
2	36	10	45	18	57
3	36	11	45	19	67
4	38	12	45	20	76
5	39	13	46	21	89
6	39	14	51	22	92
7	40	15	54	23	93
8	43	16	56	24	98

Az osztópontok a következőek:

Ebből a kvantilisek:

Jelentése: Mivel kvantilisről, azaz négy felé osztásról van szó, így a három kvantilis rendre -e, -e és -e a teljes sornak. Így a Q₁ esetében a minták 25%-a kisebb koncentrációjú, mint 39,25. (Azaz 75%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

Jelentése: A minták 50%-a kisebb koncentrációjú, mint 45,50. (Azaz 50%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

Jelentése: A minták 75%-a kisebb koncentrációjú, mint 64,50. (Azaz 25%-nak nagyobb a koncentrációja ennél.)

Középérték

A környezetvédelmi adatok elemzése során sokszor kerülünk olyan probléma elé, hogy meg kell határozni egy adatsor középértékét. Ez számtalan esetben nem a matematikai átlagértéket jelenti, hanem valamilyen szempont szerinti középpontot. A leggyakrabban használt középértékek a következőek:

Helyzeti középértékek:

Medián (Me)
Módusz (Mo)

Átlagok (súlyozott és súlyozatlan, a súlyok gyakran a relatív gyakoriságok):

Számtani átlag ( vagy )
Mértani (geometriai) átlag ( vagy )
Harmonikus átlag ( vagy )
Négyzetes átlag ( vagy ;)

Medián (Me)

Az az ismérvérték, amelynél az összes ismérvérték fele kisebb, fele pedig nagyobb. Ez gyakorlatilag a klasszikus középérték, azaz amikor a számok súlypontját keressük.

Több féle módon is számíthatjuk. Lehetőség van rangsor, kumulált gyakoriság és osztályközös gyakoriság alapján történő meghatározására.

Ha a számítás a rangsor alapján történik, különböző módon, attól függően, hogy a rangsorban lévő adatok darabszáma páratlan vagy páros:

Példa:

Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból (24 darab adat) számítva:

;

Azaz az adatok pont fele kisebb (illetve nagyobb), mint 45,5.

Ha a számítás a kumulált gyakoriság ismerete esetén történik, akkor a következő képletet használjuk:

Ahol: me: mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa

: mediánt megelőző osztályköz kumulált gyakorisága

: medián osztályközének kumulált gyakorisága

h: medián osztályközének hossza

Példa:

A „Kumulálás (halmozott összeadás)” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból számítva:

3.14. táblázat - Medián számítás alapadatai felfelé kumulált gyakorisággal

Y_i0	Y_i1	X_i	f_i	felfelé kumulált gyakoriság (f’_i)
35	47	41	13	13
48	60	54	5	13+5=18
61	73	67	1	13+5+1=19
74	86	80	1	13+5+1+1=20
87	99	93	4	13+5+1+1+4=24

Ha a számítás a relatív gyakoriság ismerete esetén:

;

Ahol: me: mediánt magába foglaló osztályköz alsó határa

: mediánt megelőző osztályköz kumulált relatív gyakorisága

: medián osztályközének kumulált relatív gyakorisága

h: medián osztályközének hossza

Példa:

A „Kumulálás (halmozott összeadás)” fejezetnél megismert példában szereplő adatokból számítva:

3.15. táblázat - Medián számítás alapadatai relatív kumulált gyakorisággal

Y_i0	Y_i1	X_i	g_i	felfelé kumulált relatív gyakoriság (g’_i)	lefelé kumulált relatív gyakoriság (g’_i)
35	47	41	~0,54	0,54	1,00
48	60	54	~0,21	0,54+0,21=0,75	1,00-0,54=0,46
61	73	67	~0,04	0,54+0,21+0,04=0,79	1,00-0,54-0,21=0,25
74	86	80	~0,04	0,54+0,21+0,04+0,04=0,83	1,00-0,54-0,21-0,04=0,21
87	99	93	~0,17	0,54+0,21+0,04+0,04+0,17=1,00	1,00-0,54-0,21-0,04-0,04=0,17

A három medián érték jelenleg a következő értéket veszi fel:

rangsorból: 45,5 < kumulált relatív gyakoriságból: 46,1 < kumulált gyakoriságból: 46,63

Ez a sorrend csak most alakult így, de nem feltétlenül így fog alakulni a sorrend, ha más kiindulási adatokkal dolgozunk!

Módusz (Mo)

Módusznak a legtipikusabb, leggyakrabban előforduló ismérvet nevezzük. Két típus fordul elő: diszkrét esetben (amikor az adatok önálló, egymástól független értékeket vesznek fel), a leggyakoribb ismérvértéket, míg folytonos esetben (amikor az adatokat egy görbe írja le), akkor a görbe legnagyobb pontjához tartozó érték a módusz. Ez utóbbi esetben a legtöbbször új ismérvérték jön létre, ami részévé válik a sornak.

Példa:

3.16. táblázat - Módusz meghatározásának lépései

Rangsor	megszámoljuk az előfordulást →	Ismérvérték	Előfordulás	sorba rendezzük →	Ismérvérték	Előfordulás
35		35	1		45	3
36		36	2		36	2
36		38	1		39	2
38		39	2		43	2
39		40	1		56	2
39		43	2		35	1
40		45	3		38	1
43		46	1		40	1
43		51	1		46	1
45		54	1		51	1
45		56	2		54	1
45		57	1		57	1
46		67	1		67	1
51		76	1		76	1
54		89	1		89	1
56		92	1		92	1
56		93	1		93	1
57		98	1		98	1
67
76
89
92
93
98

A számítás eredményét ábrázolva (2.4. ábra) vizuálisan is elkülöníthető a módusz. Ha nem akarjuk ábrázolni, akkor a számolás eredményének sorba rendezésével kapjuk meg az eredményt. A módusz kézi számítása nagyon időigényes folyamat, így célszerűbb táblázatkezelő rendszerre bízni annak kiszámítását.

3.4. ábra - Módusz kiemelése a sokaságból

Módusz számítása táblázatkezelő rendszerben két úton lehetséges. Ha megelégszünk a legtöbbször előforduló értékek közül a legkisebbel (azaz ha például a 39 és a 45 is háromszor fordul elő, akkor csak a 39-et fogjuk megkapni), akkor:

MS Excel esetében a =MÓDUSZ.EGY(tartomány) utasítással tudjuk elvégezni a számítást. (A tartomány helyébe mindig az adatokat tartalmazó mezőket kell megadni. Például: „=MÓDUSZ.EGY(A2:A25)”)
LibreOffice esetében a =MÓDUSZ(tartomány) utasítással tudunk eljárni.

Ez a módszer alkalmazása bár kényelmes és gyors, sokszor vezethet tévútra illetve hamis elemzéshez, ami a kézi módszernél sokkal nehezebben fordulhat csak elő. Például vegyük egy város éves óránkénti NOx töménység értékének az adatsorát (24*365=8760 adat). A táblázatkezelő által kiírt módusz érték 10 mg/m³. Ha kézzel végezzük el a számítást, akkor kiderül, hogy valóban a tízes érték fordul elő leggyakrabban az adatsorban (107-szer), de a 45-ös (103-szor) és a 44-es (98-szor) érték szorosan követi a gyakorisági sorban (a következő 19-es érték már csak 37-szer fordult elő). Ha valaki csak a táblázatkezelő értéke alapján dönt, akkor – ahogy sajnos számtalanszor előfordult már – megnyugodva közölheti: a városban leggyakrabban nagyon tiszta a levegő. Ha viszont veszi a fáradságot és elvégzi a teljes elemzést, akkor viszont gyorsan kiderül, hogy a szennyezett értékek száma jóval magasabb, mint a tízes értéké csak – például a műszer mérési jellegzetessége miatt – megoszlik két mérési érték között. Természetesen van kényelmes feloldása a gyors és esetleg félrevezető és a fáradságos, de értékesebb számítás kérdésének. Ez pedig a makro. A táblázatkezelők makro nyelvével gyorsan és hatékonyan elvégezhetjük a számítást. (A makro nyelv ismertetése nem célja ezen anyagnak, de számos kiváló forrásanyag segítheti az elsajátítását.)

A feladat megoldása makro nyelv használatával:

3.17. táblázat - Módusz meghatározása makróval.

	A	C	D
1	Ismérvek	Értékek	Előfordulás (db)
2	35	35*	1*
3	36	36*	2*
4	36	38*	1*
5	38	39*	2*
6	39	40*	1*
7	39	43*	2*
8	40	45*	3*
9	43	46*	1*
10	43	51*	1*
11	45	54*	1*
12	45	56*	2*
13	45	57*	1*
14	46	67*	1*
15	51	76*	1*
16	54	89*	1*
17	56	92*	1*
18	56	93*	1*
19	57	98*	1*
20	67
21	76
22	89
23	92
24	93
25	98

* A csillaggal jelzett számokat a makro írta be.

Megjegyzés: A makrót korlátlan számú ismérvre le lehet futtatni.

'Módusz

Sub Módusz()

Dim t, r, s As Integer

Dim Van As Boolean

t = 2

r = 2

Do Until Cells(t, 1) = ""

Van = False

For s = 2 To r

If Cells(t, 1) = Cells(s, 3) Then

Cells(s, 4) = Cells(s, 4) + 1

Van = True

Exit For

End If

If Van = False Then

Cells(r, 3) = Cells(t, 1)

Cells(r, 4) = 1

r = r + 1

End If

t = t + 1

Loop

End Sub

Statisztikai mutatók

A statisztikai mutatók feladata, hogy számszerűen, pontosan megmutassa egy adatsor jellemző értékeit. Míg a grafikonokon alapuló elemzéseket jellemzően az adatsorok gyors áttekintésére, emberi felhasználók számára történő látványos megjelenítésre használjuk a környezetvédelem területén, számos esetben szükségünk lehet továbbszámításokhoz használható, számszaki adatokra. Az erre szolgáló számos módszer közül terjedelmeket és a momentumokat ismertetjük részletesen.

Terjedelem

A terjedelem mutató meghatározza, hogy az adott adatsor mekkora tartományt ölel fel, azaz mekkora a legkisebb és legnagyobb értéke.

A terjedelem meghatározásával gyorsan megállapítható például egy mérés-sorozatról, hogy annak valamelyik eleme átlépte-e a határértéket, vagy sem. A terjedelemnek két fő típusát különböztetjük meg:

amikor a teljes adatsorra vonatkoztatunk, akkor a „rendes” terjedelmet nézzük (jellemzően nem teszünk megkülönböztető jelzőt a megnevezés elé),
amikor viszont csak egy kisebb részét vizsgáljuk az egésznek (jellemzően egy vagy több kvantilist), akkor interkvantilis vagy nyesett terjedelemről beszélünk.

(Rendes) terjedelem

Példa: Az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén, mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban azonosan tudjuk megoldani:

3.18. táblázat - Terjedelem meghatározása.

	A	B	C
1	Érték		Terjedelem
2	40	Legkisebb	=MIN(A2:A25)
3	45	Legnagyobb	=MAX(A2:A25)
4	43
5	36
6	39
7	46
8	51
9	57
10	93
11	98
12	67
13	56
14	45
15	56
16	35
17	76
18	89
19	92
20	54
21	45
22	43
23	38
24	39
25	36

A meghatározás eredményeképpen megtudjuk, hogy a terjedelem 35 és 98 között van.

Interkvantilis (nyesett) terjedelem

Az interkvantilis terjedelem meghatározása során egyszerűen vesszük a kiválasztott kvantilisek két szélső darabját és azok értéke lesz a terjedelem.

A leggyakrabban használt két interkvantilis terjedelem a decilisből (a középső 80%-ot szokták így meghatározni), illetve a kvartilisből képzett (így pedig a középső 50%-ot lehet meghatározni). A kvartilisből képzett értéket nagyon gyakran Box-and-whiskers módszernek is hívják.

Példa: Ábrázoljuk az „Osztályközös gyakoriság számításának lépései” fejezetnél megismert példában szereplő 24 minta esetén a Box-and-whiskers értéket a mediánhoz képest.

Vegyük a „Kvantilisek” fejezetben meghatározott kvartilis értékek kvantilisét:

Q₁ = 39,25

Q₂ = 45,50

Q₃ = 64,50

Ezután vegyük az első és a harmadik kvartilis kvantilis értéket, majd ábrázoljuk azt egy számegyenesen:

3.5. ábra - Vizsgált adatsor jellemzői számegyenesen

A példa jól megmutatja, hogy ha:

csak a teljes terjedelemre elemzünk, akkor úgy vélhetnénk, hogy nagyon szélsőséges értékek között mozog (35-98)
ha már a medián értékét is figyelembe vesszük (Me=45,5), akkor sokkal jobb rálátásunk lesz az adatsorra, mivel kiderül, hogy az adatok a tartomány alsóbb régiójában összpontosulnak,
végül – anélkül, hogy túlzottan bele kellene mélyedni az adatokba – a box-and-whiskers értékkel egészen pontosan be tudjuk határolni, hogy a jellemző mérési értékek a 39 és 65 közötti tartományban találhatóak.

Statisztikai momentumok

A statisztikai momentumok közül az átlag és a szóródás információt nyújtanak az adatsor tekintetében a hely és a változékonyság (terjedés, megoszlás) kérdésében és ez által, megközelítő tájékoztatást nyújtanak azok eloszlásáról (mint azt például egy fényképről készült hisztogram esetében). Az átlag és a szóródás az első két statisztikai momentum, míg a harmadik és a negyedik momentumok tájékoztatást nyújtanak az eloszlás alakjáról és változékonyságáról.

Ezek az információk elsődleges célja a gyors, és hatékony adat-áttekinthetőség elérése. Ezek közül a környezetvédelemben a szóródás a leggyakrabban használt művelet.

Szóródás (σ)

A szóródás az átlagtól történő eltérést mutatja meg. Mérőszáma a szórás. A szórás értéke tájékoztatást ad arról, hogy mennyire egységes az adatállomány. Kifejezetten fontos érték, ha egy mérőműszer pontosságáról, egy mérés megbízhatóságáról kívánunk tudást szerezni.

Számítása súlyozott és súlyozatlan úton lehetséges. Az utóbbi módszer használata gyakoribb a mérési módszer ellenőrzésekor. Az előbbit alkalmazzuk például hatástanulmányok esetében, amikor a környezet több elemének változásának átlagos eltérésére vagyunk kíváncsiak, de a környezeti elemeket nem egyenlő súllyal kívánjuk figyelembe venni (például a vizet érintő változásokat kiemelten kívánjuk kezelni).

A számítás során gyakorlatilag az egyedi értékeket hasonlítjuk össze az átlaggal, majd negatív értékek elkerülése érdekében négyzetre emeljük és a végén az átlagból gyököt vonunk.

Súlyozatlan esetben a számítás:

Súlyozott esetben a számítás:

Példa:

Egy 15 km hosszú védett folyó-területen, 1 km-ként mérték fel a fajgazdagságot (hány féle fajt találtak az adott területen), illetve meghatározták a folyó vízminőségi kategóriáját. Kérdés milyen szórást mutat a folyó vízminőségi kategóriája, illetve milyen súlyozott szórást mutat ez az érték, ha figyelembe vesszük a fajgazdagságot is.

Súlyozatlan esetben, mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban megbízható függvényt tudunk használni.

3.19. táblázat - Szórás meghatározása.

	A
1	Kategória
2	5
3	5
4	4
5	3
6	4
7	5
8	5
9	4
10	5
11	5
12	4
13	3
14	2
15	4
16	5
17	0,909*

* MS Office esetében: =SZÓR.S(A2:A16)

* LiberOffice esetében: =SZÓRÁSP(A2:A16)

Súlyozott esetben sem a MS Office-ban sem a LiberOffice-ban nem találunk függvényt a megoldásra, így a példában szereplő 15 minta esetén, a következő képletrendszerrel tudjuk elvégezni a számítást (mindkét esetben azonos képletekkel).

3.20. táblázat - Súlyozott szórás meghatározása.

	A	B	C	D
1	Kategória	Fajgazdagság	Segédoszlop
2	5	104	=F2*HATVÁNY((A2-$D$3);2)	Átlag:
3	5	97	=F2*HATVÁNY((A3-$D$3);2)	=ÁTLAG(A2:A16)
4	4	117	=F2*HATVÁNY((A4-$D$3);2)
5	3	110	=F2*HATVÁNY((A5-$D$3);2)	=SZUM(B2:B16)
6	4	76	=F2*HATVÁNY((A6-$D$3);2)	Segédátlag
7	5	140	=F2*HATVÁNY((A7-$D$3);2)	=ÁTLAG(C2:C16)
8	5	131	=F2*HATVÁNY((A8-$D$3);2)	Szórás
9	4	132	=F2*HATVÁNY((A9-$D$3);2)	=GYÖK(D7/D5)
10	5	107	=F2*HATVÁNY((A10-$D$3);2)
11	5	119	=F2*HATVÁNY((A11-$D$3);2)
12	4	96	=F2*HATVÁNY((A12-$D$3);2)
13	3	103	=F2*HATVÁNY((A13-$D$3);2)
14	2	89	=F2*HATVÁNY((A14-$D$3);2)
15	4	108	=F2*HATVÁNY((A15-$D$3);2)
16	5	110	=F2*HATVÁNY((A16-$E$3);2)

Relatív szóródás

Sok esetben a szóródás önmagában nem segít a valós helyzet felmérésben, ami számos félreértelmezéshez vezethet. Amikor kijelentjük egy mérésről, hogy a szóródása 19,62 mg/m³, az számos esetben nem ad elég tájékozódási alapot. Sok ez az érték? Kevés ez az érték? Ha például a mérés 100 000 mg/m³ nagyságrendű, akkor a szóródás kiváló mérési pontosságot takar, de ha a mérés 100 mg/m³ nagyságrendű, akkor komoly fenntartásaink lehetnek a méréssel kapcsolatban.

Ezt a bizonytalanságot csökkenti a relatív szóródás kiszámítása, ami százalékos formában adja meg a szórás és az számtani átlag hányadosát.

Számítása:

Példa:

Egy kalibrációs mérési sorozat eredményei alapján határozzuk meg a szóródást és a relatív szóródást. A megoldás mind MS Office-ban mind LiberOffice-ban beépített függvények segítségével lehetséges.

3.21. táblázat - Relatív szóródás meghatározása.

	A	B
1		Mért érték (mg/l)
2		104
3		103
4		98
5		101
6		102
7		99
8		100
9		100
10		98
11		102
12		103
13		104
14		102
15		103
16		101
17	Szóródás	1,92*	mg/l
18	Relatív szóródás	1,90**	%

* MS Office esetében: =SZÓR.S(B2:B16)

* LiberOffice esetében: =SZÓRÁSP(B2:B16)

** MS Office és LiberOffice esetében: =100*(B18/ÁTLAG(B3:B17))

Általános (abszolút) különbség

A szóródás vizsgálatának egy másik elve, amelyet Corrado Gini alkotott meg, azt vizsgálja, hogy az ismérvek mennyire különböznek egymástól. Ezt a vizsgálatot általános vagy abszolút különbségnek hívjuk. Az elemzés kifejezetten hasznos, ha a szélsőségekre szeretnénk választ kapni. Ennél a vizsgálati módszernél már néhány, az átlagtól kiugróan eltérő ismérv is jelentősen megemeli a különbség értékét.

Lehetséges súlyozott és súlyozatlan módon is számolni. Képlet a következő:

Súlyozatlan:

Súlyozott:

Példa:

A „Szóródás (δ)” fejezetben megismert példán számítsuk ki az átlagos különbség súlyozatlan és súlyozott értékét.

A feladatot kényelmesen MS Office-ban és LibreOffice-ban is csak makro nyelven tudjuk megoldani. A makró forráskódja a következő:

3.22. táblázat - Különbség számításához alapadatok

	A	B
1	Kategória	Fajgazdagság
2	5	104
3	5	97
4	4	117
5	3	110
6	4	76
7	5	140
8	5	131
9	4	132
10	5	107
11	5	119
12	4	96
13	3	103
14	2	89
15	4	108
16	5	110
17	Átlagos	különbség
18	Súlyozatlan	1,00952381*
19	Súlyozott	11554,01905*

* A csillaggal jelzett számokat a makro írta be.

'Átlagos különbség számítása

Sub Súlyozatlan()

Dim r, t, N As Integer

Dim Különbség, G As Double

N = 15

Különbség = 0

For t = 2 To N + 1

For r = 2 To N + 1

Különbség = Különbség + Abs(Cells(t, 1) - Cells(r, 1))

Next r

Next t

G = (1 / (N * (N - 1))) * Különbség

Cells(N + 3, 2) = G

End Sub

Sub Súlyozott()

Dim r, t, N As Integer

Dim Különbség, G As Double

N = 15

Különbség = 0

For t = 2 To N + 1

For r = 2 To N + 1

Különbség = Különbség + (Cells(t, 2) * Cells(r, 2) * Abs(Cells(t, 1) - Cells(r, 1)))

Next r

Next t

G = (1 / (N * (N - 1))) * Különbség

Cells(N + 4, 2) = G

End Sub

Momentum

A szóródások egy különleges fajtája a momentum képzés, amelynek során a szóródást egy tetszőlegesen kiválasztott (akár az ismérvek között nem szereplő) értékhez viszonyítjuk. Kiválóan lehet használni e módszert műszerek teljes pontosságának meghatározására, amikor egy ismert (beállító) érték mérése során mért értékeket viszonyítunk a beállító értékhez.

Gyakorlatban a momentum képzés az átlagok és a szórások általános felírása. Általános megfogalmazása a következő: Y ismérv vagy gyakorisági eloszlás A körüli r-ed rendű momentumai.

Számítása súlyozatlan esetben:

Súlyozott esetben:

Néhány nevezetes momentum:

Számtani átlag (r=1, A=0):

Négyzetes átlag négyzete (r=2, A=0):

Variancia (r=2, ):

Megbízhatóság (r=2, A =beállító érték)

Példa:

A „Relatív szóródás” fejezetben megismert példa során a mérést 100 mg/l-es sűrűségű mintával végeztük. Számítsuk ki a megbízhatóságát a berendezésnek.

3.23. táblázat - Momentum számítás (berendezés megbízhatósága)

	A	B	C	D
1		Mért érték (mg/l)	Segédoszlop	Beállító sűrűség
2		104	=HATVÁNY(B2-$D$2;2)	100
3		103	=HATVÁNY(B3-$D$2;2)	mg/l
4		98	=HATVÁNY(B4-$D$2;2)
5		101	=HATVÁNY(B5-$D$2;2)
6		102	=HATVÁNY(B6-$D$2;2)
7		99	=HATVÁNY(B7-$D$2;2)
8		100	=HATVÁNY(B8-$D$2;2)
9		100	=HATVÁNY(B9-$D$2;2)
10		98	=HATVÁNY(B10-$D$2;2)
11		102	=HATVÁNY(B11-$D$2;2)
12		103	=HATVÁNY(B12-$D$2;2)
13		104	=HATVÁNY(B13-$D$2;2)
14		102	=HATVÁNY(B14-$D$2;2)
15		103	=HATVÁNY(B15-$D$2;2)
16		101	=HATVÁNY(B16-$D$2;2)
17	Megbízhatóság	=SZUM(C2:C16)/DARAB(B2:B16)	mg/l

Az eredmény 5,47 mg/l, azaz a berendezésünk által mért értékek ±6 mg/l pontosak (ez a műszerünk megbízhatósága).

4. fejezet - Adatbázisok fellelhetősége az interneten

Tartalom

OKIR (Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer)
Zöldhatóságok
OLM (Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat)
Központi Statisztikai Hivatal
Vízügyi adatbank
OMSZ (Országos Meteorológiai Szolgálat)
River Monitoring
Integrált Drávai Monitoring
Nemzetközi kitekintés

Az Európai Unió illetve Magyarország környezetpolitikájában egyre nagyobb szerepet kap a társadalom, mivel növekszik az emberek környezettudatossága és a környezeti információk iránt az igényük. Alapvető fontosságú, hogy a lakosság tájékozódni tudjon lakóhelyének környezeti állapotáról, és így lehetősége nyílik részt venni a döntési folyamatokban. Ahhoz, hogy ez a rendszer kialakuljon, közérthető formában kell az emberek elé tárni az adott problémát.

A demokrácia fejlődésével egyre inkább előtérbe kerül az önkormányzatok felelősségében, a településeken lakók számára élhető és egészséges környezet megteremtése, és az, hogy olyan területfejlesztési programokat indítsanak, mely ezt elősegíti. A környezeti információk megléte, látványos megjelenítése jelentősen megkönnyíti a területfejlesztési döntések meghozatalát, a fejlesztések kapcsán a lakosság informálását, egy esetleges lakossági fórum, vagy szavazás szakmai megalapozását.

A törvényeknek megfelelően mára több állami szervezet, és önkormányzat biztosít hozzáférést a környezeti adatokhoz, és azok értékeléséhez. A civil társadalomra jellemző módon, az állam mellett több civil szervezet önként vállat, vagy szerződésben rögzített feladatként foglalkozik környezeti információs rendszerek építésével és lakossági tájékoztatással. Ezek mellett több állami és non-profit kutatóhely munkakörébe tartozik a környezeti adatok gyűjtése, értékelése.

Ennek ellenére be kell látnunk, hogy mind a lakossági tájékoztatás, mind pedig a nyilvánosan hozzáférhető adatbázisok működése napjainkban még gyenge lábakon áll hazánkban. Számos oldalon például csak utalásokat találhatunk bizonyos adatbázisokra, ezek lenyíló választó fülei is megjelennek, azonban ezek után vagy csak egy rövid szöveges leírást találunk, vagy éppen egy jelszóval védett oldalra jutunk. Így kimaradnak a felsorolásból olyan oldalak, mint:

Vízügyi honlap
Vízügyi és Környezetvédelmi Központi Igazgatóság
- Vízgazdálkodási Információs Rendszer (VIZIR).
- Vízkárelhárítási Védekezési Információs Rendszer (VIR).
- Vízminőségi Kárelhárítási Információs Rendszer (VIKÁR).
- Hidrometeorológiai Információs Rendszer.
- Vízföldtani Információs Rendszer.
- Vízügyi jelentés nyilvántartási információs rendszer.
Települési Szennyvíz Információs Rendszer
Talajvédelmi Információs Monitoring Rendszer (TIM)

Tekintettel arra, hogy minden területnek megvan a maga adatbázisa, jelen fejezetben elsősorban a környezetvédelmi jellegű, illetve az azzal összefüggésbe hozható (jelentősebb) adatbázisokat tekintjük át. Kizárólag olyan adatlapok kerülnek megemlítésre, amelyek nem csak felsorolják, hogy az adott szervezet milyen jellegű adatokat gyűjt, hanem amelyek ténylegesen online, mindenki számára elérhető, lekérhető adatokat is szolgáltat a környezettel kapcsolatosan.

OKIR (Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer)

A Vidékfejlesztési Minisztérium (korábban Környezetvédelmi és Vízügyi Minisztérium^[1], www.kvvm.hu^[2]) irányítása alá tartozó szervezeteknél a környezet terhelésével és a környezet állapotával kapcsolatban számos adat áll rendelkezésre.

Az OKIR adatbázisban szereplő adatok egy része a területi környezetvédelmi szervek saját méréseiből, másik része a környezethasználók jogszabályi előírásai alapján tett adatszolgáltatásaiból származnak.

Az adatok jelentős része ma már közvetlenül központi számítógépes adatbázisba kerül, olyan módon, hogy a méréseket végző, valamit az adatszolgáltatásokat feldolgozó Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőségek a minisztériumi szerverhez kapcsolódva közvetlenül a központi adatbázisba viszik fel az adatokat. Ez a rendszer az Országos Környezetvédelmi Információs Rendszer (OKIR).

A rendszer elsődleges feladata, hogy a környezet állapotának és használatának figyelemmel kísérését, igénybevételi és terhelési adatainak gyűjtését, feldolgozását és nyilvántartását támogassa, és az érintett felhasználókat (beleértve a nyilvánosságot is) ellássa a szükséges információkkal. Moduláris felépítésű, amely azt jelenti, hogy a különböző környezetvédelmi szakterületek adatai saját szakterületi nyilvántartásokba kerülnek, amely szakrendszerek egymással összefüggő és egymás között átjárható konglomerátumot alkotnak.

A lekérdező funkció segítségével jelenleg az alábbi környezetvédelmi területekről érhetők el adatok:

Mi van a környezetemben? - Térképes lekérdező, a Környezetvédelmi Alapnyilvántartó Rendszerben nyilvántartott objektumok és az azokról rendelkezésre álló környezetvédelmi adatok megjelenítése érdekében
Hulladékgazdálkodási adatok a Hulladékgazdálkodási Információs Rendszerből (HIR)
Légszennyező anyag kibocsátások a Levegő-tisztaság Védelmi Információs Rendszerből (LAIR)
Felszíni vízminőségi mérési eredmények - a felügyelőségi laboratóriumok vízvizsgálatai mérései alapján a '60-as évekig visszamenőleg (FEVI)
Jogerős környezetvédelmi hatósági határozatok adatai, amelyek a felügyelőségek által vezetett Hatósági Nyilvántartó Rendszerből (HNYR) származnak
Veszélyes és nem veszélyes hulladékok kezelésére feljogosító engedélyek adatai, beleértve a hulladékok begyűjtésére és szállítására vonatkozó engedélyeket.

Tekintsünk meg egy példát. Kiválasztunk egy várost „Mi van a környezetemben” menüpont alatt (ez esetben Veszprémet), majd lekérdezzük, milyen levegőt terhelő pontforrások vannak a választott városunkban (3.1. ábra és 3.2. ábra).

4.1. ábra - Veszprém levegőt terhelő pontforrásai

4.2. ábra - Volán telephely éves szennyezőanyag kibocsátása (kg)

Az adatbázisban szereplő telephelyek megjelennek a térképen. Egérrel rámutatunk az egyik piros „léggömbre”, kinyílik a címke: Volán telephely. A részletes adatokra kattintva táblázatban megnyílnak a mért a szennyezőanyag koncentrációk éves átlagai (3.2. ábra).

Zöldhatóságok

Az Országos Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Főfelügyelőség a vidékfejlesztési miniszter irányítása alatt működő központi hivatal, önállóan működő és gazdálkodó, közhatalmi központi költségvetési szerv, illetékessége az ország egész területére kiterjed.

Felügyeleti szerve a Vidékfejlesztési Minisztérium. Közigazgatási eljárásban az alárendeltségben működő 10 környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőség (területi szerv) felettes, valamint felügyeleti szerve.

Környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőségek:

Közép-Duna-völgyi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Budapest)

Alsó-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szeged)

Dél-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Pécs)

Észak-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Győr)

Észak-magyarországi Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Miskolc)

Felső-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Nyíregyháza)

Közép-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Székesfehérvár)

Közép-Tisza-vidéki Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szolnok)

Nyugat-dunántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Szombathely)

Tiszántúli Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőség (Debrecen)

A felügyelőségek weboldalai környezeti és közérdekű adatokat egyaránt tartalmaznak az elektronikus információszabadságról szóló 2005. évi XC. törvény által meghatározott formában és tartalommal. Elérhető az éppen az aktuális jogszabályok jegyzéke, továbbá a legtöbb ügyintézéshez szükséges formanyomtatvány.

OLM (Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat)

1974 és 2001 között a mérőhálózatot (korábbi nevén: Országos Immisszió-mérő Hálózat) az egészségügyi tárca szakmai irányításával az akkori megyei (fővárosi) KÖJÁL-ok, majd ezek utódai, a megyei (fővárosi) ÁNTSZ intézetek üzemeltették. A mérőhálózat üzemeltetéséért 2002. február 1. óta a környezetvédelmi tárca, 2010-től a Vidékfejlesztési Minisztérium a felelős. A tényleges kezelői feladatokat a területi szervei, a környezetvédelmi, természetvédelmi és vízügyi felügyelőségek (felügyelőségek) látják el.

Az Országos Légszennyezettségi Mérőhálózat két részből áll: az automata és a manuális mérőhálózatból. A mérőhálózat az ország területén a légszennyezettség mérésére és értékelésére hivatott, mely az automatikus mérőhálózat, a manuális mérőhálózat, mobil mérőállomások és időszakos mintavételek segítségével valósul meg. Az egyes illetékességi területeken a Környezetvédelmi Felügyelőségek üzemeltetik a manuális (szakaszos) és az automatikus (folyamatos) mérőhálózat állomásait, valamint ők végzik az időszakos légszennyezettségi méréseket is.

Jelenleg 31 település 52 mintavételi helyén mérik folyamatosan a kiemelt jelentőségű légszennyező anyagok koncentrációit és az értékeléshez szükséges meteorológiai paramétereket.

Az automata mérőhálózatban mért légszennyező anyagok (nem mérnek minden komponenst minden helyszínen, példa 3.3. ábra):

SO₂
NO/NO₂/NOx,
CO
O₃
Szálló por (PM₁₀ és PM_2,5 frakciók, utóbbi csak 4 helyszínen)
BTEX
H₂S
VOC

Az automata mérőhálózatban regisztrált meteorológiai paraméterek:

szélsebesség,
szélirány,
hőmérséklet,
páratartalom,
csapadékmennyiség.

4.3. ábra - Veszprém – Kádár utcai mérőkonténer adatlapja

A manuális mérőhálózat (korábbi nevén: RIV: Regionális Immisszió Vizsgáló Hálózat) közel harminc éves múltra tekint vissza. A minták elemzését a szakaszos (24 órás) mintavételt követően a Környezetvédelmi, Természetvédelmi és Vízügyi Felügyelőségek akkreditált vizsgáló laboratóriumaiban végzik. A vizsgálati eredmények a felügyelőségi alközpontokba, majd végül az Országos Légszennyezettségi Adatközpontba kerülnek. Jelenleg 131 településen működik a manuális mérőhálózat. A manuális hálózatban vizsgált komponensek:

SO₂,
NO₂,
ülepedő por (g/m²*30 nap).

A háttér-szennyezettséget mérő hálózatot – négy mérőállomással - az Országos Meteorológiai Szolgálat üzemelteti, amelyek K-pusztán, Nyírjesen, Farkasfán és Hortobágyon találhatók. További két állomás működik a környezetvédelmi felügyelőség kezelésében, ezek a Fertőújlaki (Sarród) és a Majláth-pusztai mérőállomások.

Központi Statisztikai Hivatal

Az előzőekben említett manuális és automata mérőállomások adatai a Központi Statisztikai Hivatal adatbázisában is megjelennek, továbbá bővebb információk érhetők el a metainformációs adatbázisból mind a környezetvédelmi ipar, környezetvédelmi ráfordítás, hulladék, mind pedig víz tématerületeken.

Vízügyi adatbank

4.4. ábra - Vízügyi adatbank kezdőlapja

A fenti menüsorból az alábbiak szerint választhatjuk ki az adatbázisból a számunkra értékes információt.

4.5. ábra - Vízügyi adatbank lekérdező felülete

OMSZ (Országos Meteorológiai Szolgálat)

Online adatbázisából a meteorológiai paraméterek alakulását ismerhetjük meg (mint hőmérséklet, páratartalom, szélsebesség, szélirány, UV-B sugárzás – 3.6 ábra és 3.7 ábra). Az OMSZ üzemelteti továbbá a háttérszennyezettséget mérő mérőállomásokat, méri a troposzférikus ózon koncentrációt, felszín-légkör közötti CO₂ forgalmat, üvegházgáz mérlegeket készít, stb., de ez utóbbiak adatai online nem elérhetők.

4.6. ábra - Met.hu legfrissebb mért meteorológiai adatai

4.7. ábra - UV index várható napi menete

River Monitoring

Tiszta-vízgyűjtő monitoring rendszer mérési/mintavételi pontjai a 3.8 ábrán láthatók.

4.8. ábra - Tisza-vízgyűjtő monitoring rendszer

A monitorállomások felszereltségének főbb összetevői a mérőműszerek, a mintaellátó szivattyúrendszer, a hidraulikai rendszer, a különböző segédberendezések és a mérésvezérlő-adatgyűjtő rendszer. Online megismerhető adatok (3.1 táblázat):

4.1. táblázat - Monitorállomások alap-műszerezettsége

Monitorállomások alap-műszerezettsége
Vízminőségi paraméter	Mértékegység	Mérési tartomány	Működési elv
Vízhőmérséklet	C°	0-50	Digitális
pH		0-14	Potenciometria
Oldott oxigén	mg/l	0-20	Voltametria
Vezetőképesség	µS/cm	0-2000	Konduktometria
Zavarosság	NTU	0-500	Fényvisszaszórás
Ammónium ion	mg/l	0-10	Fotometria
TOC	mg/l	0-20	UV gyorsított oxidáció
Felszíni olaj	-	-	Felszíni vízminta TOC méréshez
Klorofill-a	µg/l	0,1-től	Fluorometria
0-20	T-index	0-100	Daphina / Alga
További műszerezettség az MS-2 monitorállomáson
Nehézfém analizátor (cink, kadmium, ólom, réz)	µg/l	0-5000	Polarográfia
Nitrát	µg/l	0-10	Fotometria
Cianid	µg/l	0-2	Polarográfia

Integrált Drávai Monitoring

Az országos vízminőségi törzshálózat kialakítására 1968-1972 között került sor, ennek részeként a Drávai megfigyelések már 1968-ban megkezdődtek.

Vízrajzi monitoring (online elérhető)
Vízkémiai monitoring (pH, Fajlagos vezetőképesség (µS/cm), Oldott O₂ (mg/l), O₂ (%), KOIsp (mg/l), KOIcr (mg/l), NH₄⁺ (mg/l), Összes P (mg/L), a-klorofill (mg/m³), szaprobitás index) (online elérhető)
Biológiai monitoring

Nemzetközi kitekintés

Egyesült Királyság

Elérhetőség: http://www.airquality.co.uk/archive/index.php

Írország

Elérhetőség: http://www.ehsni.gov.uk/environment/air/smokecontrol.shtml

Ausztrália

Elérhetőség: http://www.epa.vic.gov.au/Air/AAQFS/AAQFS_Melb_Forecast.asp

Svájc

Elérhetőség:http://www.umweltschweiz.ch/buwal/eng/fachgebiete/fg_luft/luftbelastung/karten/index.html

Németország

Elérhetőség: http://www.env-it.de/luftdaten/map.fwd?measComp=O3

Franciaország

Elérhetőség: http://www.airnormand.asso.fr/normand/uk/index.html

A nemzetközi kitekintésből egyértelműen kiderült, hogy a vizsgált rendszerek mindegyike elsősorban a levegőminőség szempontjából jellemzi a városi környezet élhetőségét. Közös ezekben, a rendszerekben az, hogy a leggyakoribb szennyezők (O₃, CO, SO₂, PM₁₀, NO, NO₂, benzol) előfordulását mérik a légkörben, általában a város fixen meghatározott pontjain. Ez a megállapítás a rendszerekkel szemben támasztott alapvető elvárások közé sorolható, csakúgy, mint a megfigyelt adatok visszakereshetőségére vonatkozó kitétel. A legtöbb alkalmazás kitér a mérési eredmények minősítésére is, azaz valamilyen formában jelzi azt, hogy mennyire szennyezett adott területen a levegő. Ez általában egy – az adott ország törvényi rendelkezéseitől függő – határérték táblázat alapján történő értékelésének eredményeképpen valósul meg. A megjelenítést és az adatok böngészését egy internetes felület segítségével valósítják meg, melyen általában egy statikus térképet is alkalmaznak. Az új alkalmazásokkal szembeni elvárás mára már az, hogy az adatokat dinamikus térképeken lehessen szemléltetni, megkönnyítve ezzel az adatok elérését.

Európai Unió

E-PRTR – The European Pollutant Release and Transfer Register – 27 EU tagállam, valamint Izland, Liechtenstein, Norvégia, Szerbia és Svájc tartozik a nyilvántartásba. Éves adatokat láthatunk 28000 ipari létesítmény kapcsán, 65 gazdasági tevékenységgel összefüggésben, 9 szektorra osztva:

energia
termelés és fémfeldolgozás
ásványipar
vegyipar
hulladék-és vízgazdálkodás
papír és faanyag előállítása és feldolgozása
intenzív állattartás és akvakultúra
állati és növényi eredetű termékek az élelmiszer-és üdítőital-ágazatban, valamint egyéb tevékenységek.

EEA – European Environment Agency – Az oldal olyan környezeti kérdésekkel foglalkozik, mint például a fenntarthatóság, a környezetbarát gazdaság, a víz, a hulladék, az élelmiszer, az irányítás és az ismeretek megosztása.

Hivatalos nyelven: http://www.eea.europa.eu/ ( http://www.eea.europa.eu/hu)

Eurostat – Your key to European Statistics

4.9. ábra - Európai Statisztikai Hivatal témakörei

^[1] Környezetvédelmi és Vízgazdálkodási Minisztérium (1987)

Környezetvédelmi és Területfejlesztési Minisztérium (1994)

Környezetvédelmi Minisztérium (1997)

Környezetvédelmi és Vízügyi Minisztérium (2002)

Vidékfejlesztési Minisztérium (2010)

^[2] Az új kormányzati portál 2011. január 1. óta él: http://www.kormany.hu./hu/videkfejlesztesi-miniszterium

5. fejezet - Adatbázisok használatának jogi háttere

Tartalom

Környezetvédelmi vonatkozású adatok szabályozása
A környezetvédelmi vonatkozású közérdekű adatok megismerésének korlátai
Az elektronikus információszabadság

A Magyar Köztársaság valamennyi állami és önkormányzati szerve adatok, dokumentumok sokaságát kezeli. Ezek egy része a nyilvánosság elől törvény által védett adat, más része bárki által megismerhető. Van köztük olyan, amely természetes személyre vonatkozik, van, ami az adott szervezet működésére, és létezik olyan is, amelyet a közszféra szervei a feladatuk ellátása során más szervezetekről tartanak nyilván. Az adatok kezelését, gyűjtését, továbbítását jogi normák szabályozzák.

Magyarországon az Alkotmány (az 1949. évi XX. törvény) kimondja, hogy mindenkit megillet a személyes adatok védelméhez való jog (59. § (1) bekezdés), és mindenkinek joga van arra, hogy a közérdekű adatokat megismerje és terjessze (61. § (1) bekezdés).

Az 1989–90-es politikai átalakulás egyik sarkalatos kérdése volt a nyilvánosság ügye. A rendszerváltás politikai erői egyetértettek abban, hogy nem elég a sajtószabadság, a véleménynyilvánítás szabadságának megteremtése. Egy demokratikus társadalomban elengedhetetlen, hogy szigorú törvények óvják a polgárok magánéletét, ugyanakkor biztosítsák az állam átláthatóságát, elszámoltathatóságát. Ezek alapján az Országgyűlés megalkotta a személyes adatok védelméről és a közérdekű adatok nyilvánosságáról szóló 1992. évi LXIII. törvényt (továbbiakban Avtv.), egy normába foglalva e jogok gyakorlásának legfontosabb szabályait, garanciáit.Az Avtv. alapján a közszférában kezelt adatokat öt csoportra osztjuk. 2. § E törvény alkalmazása során:

1. személyes adat: bármely meghatározott (azonosított vagy azonosítható) természetes személlyel (a továbbiakban: érintett) kapcsolatba hozható adat, az adatból levonható, az érintettre vonatkozó következtetés. A személyes adat az adatkezelés során mindaddig megőrzi e minőségét, amíg kapcsolata az érintettel helyreállítható. A személy különösen akkor tekinthető azonosíthatónak, ha őt - közvetlenül vagy közvetve - név, azonosító jel, illetőleg egy vagy több, fizikai, fiziológiai, mentális, gazdasági, kulturális vagy szociális azonosságára jellemző tényező alapján azonosítani lehet;

2. különleges adat: a) a faji eredetre, a nemzeti és etnikai kisebbséghez tartozásra, a politikai véleményre vagy pártállásra, a vallásos vagy más világnézeti meggyőződésre, az érdek-képviseleti szervezeti tagságra, b) az egészségi állapotra, a kóros szenvedélyre, a szexuális életre vonatkozó adat, valamint a bűnügyi személyes adat;

3. bűnügyi személyes adat: a büntetőeljárás során vagy azt megelőzően a bűncselekménnyel vagy a büntetőeljárással összefüggésben, a büntetőeljárás lefolytatására, illetőleg a bűncselekmények felderítésére jogosult szerveknél, továbbá a büntetés-végrehajtás szervezeténél keletkezett, az érintettel kapcsolatba hozható, valamint a büntetett előéletre vonatkozó személyes adat;

4. közérdekű adat: az állami vagy helyi önkormányzati feladatot, valamint jogszabályban meghatározott egyéb közfeladatot ellátó szerv vagy személy kezelésében lévő, valamint a tevékenységére vonatkozó, a személyes adat fogalma alá nem eső, bármilyen módon vagy formában rögzített információ vagy ismeret, függetlenül kezelésének módjától, önálló vagy gyűjteményes jellegétől;

5. közérdekből nyilvános adat: a közérdekű adat fogalma alá nem tartozó minden olyan adat, amelynek nyilvánosságra hozatalát vagy hozzáférhetővé tételét törvény közérdekből elrendeli;

Környezetvédelmi vonatkozású adatok szabályozása

Európai Unió hatodik környezetvédelmi akcióprogramja (2002-2012) külön területként jelöli meg az állampolgárok bevonásának ösztönzését a környezetvédelmi eljárásokba, illetve megfelelő jogosítványokkal való felhatalmazásukat. A társadalmi részvétel és ezzel együtt a civil kontroll mind teljesebb érvényre juttatása alapvető követelményként jelent meg a környezetvédelmi jog XX. századi fejlődésében.

A társadalmi részvétel egyes területeit a Riói Nyilatkozat 10. elve foglalja össze: ”A környezeti ügyeket a legjobban az összes érdekelt állampolgár részvételével a megfelelő szinten lehet kezelni. Nemzeti szinten minden egyénnek biztosítani kell a megfelelő hozzáférést a környezetre vonatkozó információkhoz, melyekkel a közhivatalok és a hatóságok rendelkeznek; beleértve a veszélyes anyagokra és az állampolgárok közösségeit érintő tevékenységekre vonatkozó információt; és lehetővé kell tenni a döntéshozatali folyamatban való részvételt. Az államok segítsék el és bátorítsák a lakosság tudatosságát és részvételét azzal, hogy széles körben hozzáférhetővé teszik az információkat."

A társadalmi részvétel érvényesülésének és érvényesítésének alapdokumentuma az 1998. évi Aarhusi Egyezmény, amit az Európai Parlament és a Tanács 2006. szeptember 6-i 1367/2006/EK rendelete az Európai Unió jogrendszerének szerves részévé tett. Az Egyezmény 1. cikkelye kimondja: „A jelen és jövő generációkban élő minden egyén azon jogának védelme érdekében, hogy egészségének és jólétének megfelelő környezetben éljen, ezen Egyezményben Részes valamennyi Fél garantálja a nyilvánosság számára a jogot az információk hozzáférhetőségéhez, a döntéshozatalban való részvételhez és az igazságszolgáltatás igénybevételéhez a környezetvédelmi ügyekben."

A környezet védelmének általános szabályairól szóló 1995. évi LIII. tv. (Környezetvédelmi törvény) 12. §-a tájékozódás, tájékoztatás és nyilvánosság elveként valami hasonló alapelv kimondására törekszik, de ezt a törvényi elvet csak a törvény VIII. fejezetével együtt elemezve – nyilvánosság részvétele a környezetvédelemben – azonosíthatjuk a társadalmi részvétel elvével.

A tájékozódás a környezetre vonatkozó információk megismerését jelenti, a tájékoztatás az állami szervek és önkormányzatok adatgyűjtési és ezen alapuló tájékoztatási kötelezettségével azonosítható, míg a környezethasználót is tájékoztatási kötelezettség terheli a 12. § (9) bekezdése szerint.

Az információ a társadalmi részvétel legalapvetőbb feltétele, amely két nagy jogosítványcsoportba sorolható:

az aktív információhoz való jutás szabályainak csoportjába, amely szerint a társadalmat rendszeresen tájékoztatni kell a környezet állapotáról, és
a passzív információs jog csoportjába, amelynek értelmében a társadalom tagjai vagy csoportjai információt kérhetnek, mégpedig anélkül, hogy ennek indokait meg kellene határozniuk. Az információ iránti igény visszautasítására csak indokolt esetekben kerülhet sor – ilyen lehet például a nemzetbiztonság vagy a szolgálati titok.

A környezetvédelmi vonatkozású közérdekű adatok megismerésének korlátai

Az Avtv. szerint tehát: a közfeladatot ellátó szerveknek lehetővé kell tenniük, hogy a kezelésükben lévő közérdekű adatot bárki megismerhesse, kivéve,

ha az adott törvény alapján az arra jogosult szerv állam vagy szolgálati titokká nyilvánította, továbbá
ha a közérdekű adatok nyilvánosságához való jogot – az adatfajták meghatározásával – a törvény honvédelmi, nemzetbiztonsági, bűnüldözési vagy bűnmegelőzési, központi pénzügyi vagy devizapolitikai érdekből, külügyi kapcsolatokra, nemzetközi szervezetekkel való kapcsolatokra, bírósági eljárásra tekintettel korlátozza.

Az elektronikus információszabadság

Információszabadság alatt azt értjük, hogy a tág értelemben vett állam működésének átláthatónak kell lennie az egyének, csoportjaik vagy akár az egész közvélemény számára, az államnak csak szigorúan és pontosan meghatározott feltételek fennállása esetén, rendkívül szűk körben lehetnek titkai. Az információszabadság számos egyéni és társadalmi célt szolgálhat, például hozzásegítheti a magánszemélyeket ügyeik gyors és egyszerű elintézéséhez, tudományos kutatókat kutatásuk alapjául szolgáló adatok megismeréséhez, vagy akár szolgálhatja bárki érdeklődésének egyszerű kielégítését is.

Az elmúlt évtizedek információs technológiájának viharos fejlődése érthető módon hatással van az információs jogok szabályozására és gyakorlatára egyaránt. A 90-es évek második felétől hazánkban is sorra jelentek meg olyan szabályok, amelyek meghatározott információk elektronikus közzétételi kötelezettségét írták elő.

2005-ben megszületett az elektronikus információszabadságról szóló 2005. évi XC. törvény (Eitv.). Az Avtv-ben biztosított jogokkal összhangban további pontosításokat jelent a jogok és kötelezettsége rendszerében. A fő gondolatmenetet a törvény célja fogalmazza meg az alábbiak szerint:

„1. § E törvény célja annak biztosítása, hogy a közvélemény pontos és gyors tájékoztatása érdekében a közérdekű adatok e törvényben meghatározott körét elektronikus úton bárki számára személyazonosítás és adatigénylési eljárás nélkül, folyamatosan és díjmentesen közzétegyék.”

Környezetvédelmi adatbázisok révén jelen témakörben alapvető fontosságú meghatározni, hogy mit is értünk „környezeti információ” alatt. A 311/2005. (XII. 25.) Korm. rendelet a nyilvánosság környezeti információkhoz való hozzáférésének rendjéről c. rendelet részletesen definiálja a környezeti információ fogalmát (az Aarhusi Egyezmény 2. cikkének 3. bekezdésével összhangban). Környezeti információ minden olyan információ (adat), amely vonatkozik:

a környezetre, illetve a környezeti elemek állapotára - ideértve a biológiai sokféleséget és annak összetevőit, valamint a géntechnológiával módosított szervezeteket -, valamint az ezen elemek közötti kölcsönhatásra;
a környezetterhelésre, ideértve a zaj, sugárzás, hulladék, radioaktív hulladék környezetbe történ közvetlen vagy közvetett kibocsátására, ha az hatással van, vagy valószínűleg hatással lehet a környezet a) pontban meghatározott elemeire;
környezettel összefügg intézkedésekre, különösen az azokkal kapcsolatos ágazati politikára, jogszabályokra, tervekre, programokra, megállapodásokra, illetve az a) és b) pontban meghatározottakra hatással lévő vagy valószínűleg hatással lévő tevékenységekre, valamint a környezet és a környezeti elemek védelmére hozott intézkedésekre és tevékenységekre;
a környezetvédelmi jogszabályok végrehajtásáról szóló jelentésekre;
a c) pontban említett intézkedések és tevékenységek keretein belül használt, költséghatékonysági és más gazdasági elemzésekre és feltevésekre;
az emberi egészség és biztonság állapotára - ideértve az élelmiszerlánc szennyeződését, az emberi életfeltételeket, a kulturális helyszíneket és építményeket - amennyiben azokra a környezeti elemek állapota vagy ezeken az elemeken keresztül a b) vagy c) pontban említett bármilyen tényező vagy intézkedés hatással van, vagy hatással lehet.

A környezeti információt lehetőség szerint elektronikus adatbázisokban kell nyilvántartani. A megfelelő szintű technikai feltételek rendelkezésre állása esetén a környezeti információt az adott szervezet hivatalos internetes honlapján is meg kell jeleníteni, a közölt adatok folyamatos frissítésével. Emberi egészséget vagy a környezetet érő közvetlen fenyegetés esetén – függetlenül attól, hogy emberi tevékenység vagy természeti ok idézi elő –, a környezeti információval rendelkező szerv a birtokában lévő vagy számára tárolt környezeti információt közzéteszi a várható kihatással érintett lakosság számára azonnal és késedelem nélkül, lehetővé téve a fenyegetésből származó kár megakadályozására vagy csökkentésére irányuló intézkedések megtételét.

6. fejezet - Adatminőségi osztályok (adatok pontossága, adatok megbízhatósága)

Az Európai Közösségek Bizottsága a 96/23/EK tanácsi irányelvben rögzítette az analitikai módszerek elvégzése és az eredmények értelmezése terén használatos fogalmakat.

A precizitás, vagy pontosság (precision) a mérési eredményeknek az átlagérték körüli ingadozását kifejező mértékszám (önálló vizsgálati eredmények közeliségét mutatja meg). A pontosság növelhető a párhuzamosan elvégzett mérések számával.

A torzítás, helyesség vagy egzaktság (accuracy) a mérési eredmények átlagának valamilyen módon rögzített referenciaértéktől, valós értéktől való eltérése. A torzítás közvetlenül nem ismerhető fel a mérési eredményekből, és nem csökkenthető a vizsgálatok számának növelésével.

Az ismételhetőség azt mutatja meg, hogy ugyanazt a vizsgálati mintát, ugyanaz a személy, azonos körülmények esetén más alkalommal milyen pontossággal tudja megmérni.

A reprodukálhatóság pedig azt fejezi ki, hogy ugyanazt a vizsgálati mintát, azonos körülmények között más személy milyen precizitással méri meg.

„Egy mérés nem mérés, egy számítás önámítás” – tartja a mondás. Egy mérést, ha többször megismételünk, azt tapasztaljuk, hogy mérési eredményeink ingadoznak, szórnak. A megismételhetőség jól szemléltethető egy céltáblával (5.1 ábra). Van öt lehetőség lőni. Vajon a céltábla közepén lesznek-e a találatok? A méréstechnika nyelvén megfogalmazva: a mért érték (aktuális találat) mennyire közelíti meg a valódi értéket (célpontot)?

6.1. ábra - A kezdő és a pontosan célzó „találatai”

Egy kezdő (1) pontatlan, találatainak nagy a szórása: minél nagyobb a bizonytalanság, annál kisebb az ismétlőképesség; míg a profi (4) pontos és precíz: a valódi értékhez közeli és jó ismétlőképességű.

6.2. ábra - A kezdő és a pontosan célzó „találatai”- szóródási görbe

A csúcsnál van a legvalószínűbb (várható) érték: itt csoportosulnak a találatok, a széles terjedelem pedig a nagy bizonytalanságra utal (nagy szóródásra) utal (5.2 ábra). Ezek a görbék a várható érték (m = mean) és a pontosság mértékét jellemző szórás (σ) paraméterekkel le.

Méréseink tehát mindig hibásak, és eredményeink megítélése szempontjából rendkívül fontos a mérési hiba nagyságának, és típusának ismerete.

A hibaforrások közül a mérőeszközök tökéletlenségét, a kísérleti körülmények kismértékű változását (objektív hibák), és az érzékszerveink hibáját, a kísérletet végző személlyel kapcsolatos szubjektív tényezőket kell kiemelni. Az igen durva hibáktól eltekintve (mint pl. az eszközök helytelen használata, az eszköz/mérőműszer hibás leolvasása, vagy az adatok téves feljegyzése) a hibákat két nagy csoportba oszthatjuk:

1) Szisztematikus hibát okozhat a készülékek és eszközök pontatlansága, a kísérleti körülmények helytelen megválasztása, az eredmények helytelen értékelése. Ezek egy méréssorozatban minden eredményt azonos mértékben és irányban befolyásolnak (torzítanak), ezért nehéz ezeket a hibaforrásokat felfedezni. A valódi érték és a mért adatok átlagának eltérése adja a mérés torzítását (céltábla második ábrája és az alábbi 5.3 ábra illusztrálja a torzítást).

6.3. ábra - Szisztematikus hiba – torzítás illusztrációja

A torzítást a mérések átlagának (x_átlag) a valós értéktől (x_valós) való eltérése jellemzi. Számszerű adatát a mérés során akkor lehet meghatározni, ha ismert a valós érték (referencia, vagy irodalmi adat). Az abszolút érték százalékában relatív hibaként szokták kifejezni (accuracy %):

2) Véletlen hibák a véletlen megfigyelési és leolvasási hibákból, az objektív és szubjektív kísérleti feltételek kismértékű, ellenőrizhetetlen ingadozásából, egyes műveletek helytelen kivitelezéséből származnak. Ezek szabják meg a vizsgálat pontosságát, hogy a mérési eredmények mennyire térnek el a középértéktől (milyen a mérés szórása), valamint az eredmény megismételhetőségét és reprodukálhatóságát. A véletlen hibák nagysága több párhuzamos mérés elvégzésével csökkenthető, mivel a számtani átlagban a hibák kompenzálják egymást. Kis pontosság esetén az egyes eredmények jelentős az eltérést mutatnak az átlagtól (céltábla harmadik ábrája és a 5.4 ábra mutatja be a jelenséget).

6.4. ábra - Véletlen hiba – szórás/pontosság illusztrációja

A pontosság mértékének megállapítására a szórás (s) számítását alkalmazzuk, amellyel a mért adatoknak az átlagtól való eltérését jellemezzük. Az egyes mérési eredmények átlagtól való eltérésének négyzetösszegét osztjuk a mérések számával, majd négyzetgyököt vonunk.

A pontosságot az átlag ± szórás alakban adhatjuk meg (Δ = x_átlag ± s), vagy a mérés százalékos relatív hibájaként (δ % = 100 · s / x_átlag).

7. fejezet - Adatok előkészítése kiértékelésre (szűrés, normalizálás, u-próba, t-próba)

Tartalom

Szűrés
Hibaszámítási adatok
Student-féle egymintás t-próba
Gyakorisági eloszlás
Szórás, konfidencia intervallum
Kiugró értékek ellenőrzése (normalizálás)

Szűrés

Főként nagy mennyiségű adatok gyűjtése, és azok számítógépen történő regisztrálása során jelentkező hibát mutatunk be az alábbiakban. Előfordulhat, hogy egy-egy mérőberendezés valami okból kifolyólag leáll, majd automatikusan újraindul. Ilyen esetekben ezeket az értékeket ki kell szűrni (6.1 ábra, a sárgával jelölt rész törlendő), és törölni kell az adatbázisból a további feldolgozás előtt, ugyanis az adatbázis kezelő rendszerek nem képesek figyelmen kívül hagyni az érvénytelen adatokat.

7.1. ábra - Probléma az adatbázisban

A 6.2 ábra szereplő adatsor az Észak-dunántúli Környezetvédelmi Felügyelőség adatbázisából származik, a győri és esztergomi levegőtisztaság-védelmi mérőkonténerek regisztrálták. A szálló por PM₁₀ és PM_2,5-es frakcióit mutatja az ábra. A PM₁₀ a 10 ;m átmérőnél kisebb részecskéket jelenti, míg a PM_2,5 a 2,5m-nél kisebbeket. Tekintettel arra, hogy a PM_2,5 a PM₁₀ részét képei, így nem lehet nagyobb az előbbi érték az utóbbinál. Tehát a szűrés nem feltételül merül ki csak az érvénytelen adatok kiszűrésében, előfordulhat, hogy további vizsgálatokat is kell végezni. A központi – online elérhető – adatbázisokból az ilyen típusú hibákat nem minden esetben távolítják el.

7.2. ábra - ÉDT-KTVF adatbázisából részlet

A mérési eredmények/adatok feldolgozásra történő előkészítése során, továbbá azok kiértékelési folyamataiban számos esetben találkozunk statisztikából ismerős fogalmakkal, összefüggésekkel. Az összes lehetséges esetet lehetetlen lenne itt felsorolni, de a leggyakrabban előforduló fogalmakat az alábbi fejezetben bemutatjuk. Egy rövid elméleti áttekintés után, mindenhol egy általunk választott/megoldott példán keresztül mutatjuk be azok gyakorlati alkalmazását.

Hibaszámítási adatok

Számtani közép: az összes mérési eredmény figyelembe vételével számolt átlagérték.

Pontosság: a középérték és a pontos érték X₀ különbsége a pontos értékre vonatkoztatva.

Adatok szórása: az egyes mérési eredményeknek a középértéktől való eltérését mutatja. Definíciója szerint az adatok 2/3-ad része az és közötti tartományban található.

Szórásnégyzet (variancia): az adatok és a középértékek közötti eltérések négyzeteinek középértéke (S_x²)

Középérték szórása (standard hiba): a középérték megbízhatóságának jellemzésére szolgál.

Változási együttható (variációs koefficiens): az adatok százalékos szórására ad felvilágosítást.

Középérték százalékos hibája (relatív hiba): az eredmények kiírható számjegyeinek számát ez alapján határozzuk meg.

Példa: Titrimetriás meghatározásnál a hallgatók által mért fogyások a következők: 0,98 cm³; 0,78 cm³; 0,90 cm³; 0,94 cm³; 0,96 cm³; 0,98 cm³; 0,94 cm³; 1,00 cm³; 1,12 cm³; 1,05 cm³; 0,98 cm³; 1,02 cm³; 0,92. A pontos érték 1,00 cm³ lett volna. Határozzuk meg a hibaszámítási adatokat.

7.1. táblázat - Hibaszámítási adatok – feladat megoldása

1	B	C	D	E
2	Mért fogyás	Hibaszámítási adat	Eredmény	Érték
3	0,98	Pontos középérték (cm³)	1,00	-
4	0,78	1 Adatok száma (db)	13,00	-
5	0,90	2 Átlag (cm³)	0,98	-
6	0,94	3 Adatok szórása (szórás)	0,08	0,98 cm3 ± 0,08 cm³
7	0,96	4 Átlag szórása (standard hiba)	0,02	0,98 cm3 ± 0,02 cm³
8	0,98	5 Variancia	0,01	-
9	0,94	6 Variációs koefficiens	8,06	0,98 cm3 ± 8,06%
10	1,00	7 Átlag százalékos hibája (relatív hiba)	2,31	0,98 cm3 ± 2,31%
11	1,12	8 Pontosság	3,31	1,00 cm3 ± 3,30%
12	1,05
13	0,98
14	1,02
15	0,92

¹D4=DARAB(B3:B15)	²D5=ÁTLAG(B3:B15)	³D6=SZÓRÁS(B3:B15)	⁴D7=D5/(HATVÁNY(D3;0,5))
⁵D8=VAR(B3:B15)	⁶D9=(D6*100)/D3	⁷D10=(D7*100)/D5	⁸D11=((D3-D5)100)D3

Student-féle egymintás t-próba

Az egymintás próbák során az adathalmaz alapján becsült és az elméleti középérték, illetve szórások összehasonlítását végezzük. Amikor valamely adathalmaz becsült középértékének és az elméleti középértékének (X₀) a különbözőségét akarjuk eldönteni a Student-féle egymintás t-próbát alkalmazzuk. Ilyenkor a képlet segítségével kiszámítjuk az adathalmazra jellemző t-értéket, melyet összehasonlítunk a Student-próba táblázatban szereplő kiválasztott hibavalószínűségének (általában P=5%) és DF=n-1 szabadsági foknak megfelelő t-értékkel. Ha a számított t-érték nagyobb, mint a táblázatban szereplő kritikus érték, a megengedhető P hibavalószínűségi szinten szignifikánsan különbözőnek tekintjük a becsült és az elméleti középértéket.

Példa: Egy mérőoldat koncentrációja 0,2 M volt készítéskor. Bizonyos idő eltelte után a töménységet újból ellenőriztük: 0,1968; 0,1950; 0,2018; 0,1938; 0,1944 M. Megváltozott-e a mérőoldat összetétele?

7.2. táblázat - Egymintás t- próba – feladat megoldása

adatok (M)	0,1967
	0,1895
	0,195
	0,2018
	0,1938
	0,1944
átlag	0,1952
szórás	0,0040
átlag szórása	0,0016
t-számított	2,9223
elemszám	6
t-érték (leolvasott: P=5%; DF=n-1=5)	2,571

Következtetés: mivel a 6.2 táblázatban számított t-érték nagyobb, mint a 4.6. melléklet táblázatban szereplő kritikus érték, elmondható, hogy az oldat összetétele szignifikánsan megváltozott, a megengedhetőnél nagyobb mértékben.

Gyakorisági eloszlás

A környezeti elemek (tulajdonságai időben gyakran változnak. Az adatok nagy szórása ellenére is értékelnünk kell a mérési eredményeket úgy, hogy azok a környezeti elem változására legyenek jellemzőek. Ezt úgy valósítjuk meg, hogy a vizsgált jellemző gyakoriságát és kumulatív gyakoriságát elemezzük. A gyakorisági adatokat hisztogram segítségével szemléltetjük.

Gyakoriság vizsgálatakor arra vagyunk kíváncsiak n számú mérési adat esetében, hogy ezek közül egy adott „A” mérési tartományon (osztályon) belül hány mérési adatunk (K) szerepel. „K” értékét, azaz az egy osztályba tartozó mérési adatok számát osztálygyakoriságnak nevezzük.

A kumulatív gyakoriság (összegzett gyakoriság, tartósság) tulajdonképpen a gyakoriság integrálja, vagyis a görbe alatti területtel egyenlő.

Példa: Dolgozzuk fel egy nagyváros levegőjének SO₂ szennyezettségére vonatkozó adatsorát. Határozzuk meg a szükséges paramétereket a relatív és az összetett gyakorisági eloszláshoz egyaránt.

7.3. táblázat - A feladat megoldása – 1. rész

Napok	SO₂ konc (µg/m³)	Rendezett adatsor	Osztályköz megállapításához használt osztó javasolt értékei
1	21,4	5,0	Adatok száma (n)	Osztó ( C )
2	9,7	5,0	0	3,7
3	10,8	6,5	30	4,1
4	14,3	8,0	50	4,5
5	20,6	8,4	75	4,8
6	20,2	9,1	100	5
7	10,9	9,3	150	5,3
8	5,0	9,6	200	5,5
9	10,1	9,7	300	5,8
10	14,5	10,1	400	5,9
11	18,9	10,8	500	6,1
12	20,2	10,9	700	6,3
13	12,5	10,9	1000	6,5
14	17,2	12,5
15	16,1	12,7	Adatok száma (n)	30,0
16	14,5	13,1	Minimum (Xmin)	5,0
17	9,6	14,3	Maximum (Xmax)	41,5
18	16,7	14,5	Átlag	14,2
19	16,8	14,5	Variáció szélesség (W=Xmax-Xmin)	36,5
20	13,1	16,1	Osztó értéke ( C )	4,1
21	9,3	16,7	Szórás közelítő értéke (S'=W/C)	8,9
22	12,7	16,8	Osztályköz értéke (A=S'/4)	2,2
23	21,2	17,2
24	41,5	18,9
25	10,9	20,2
26	5,0	20,2
27	6,5	20,6
28	9,1	21,2
29	8,4	21,4
30	8,0	41,5

A 6.3 táblázat adatsorai alapján elkészíthetjük a kén-dioxid adott hónapra jellemző 24 órás értékeiből álló vonaldiagramját 6.3 ábra.

7.3. ábra - SO₂ koncentráció változása a mintahónapban

SO2 koncentráció változása a mintahónapban

A feladat megoldása során elkészítünk egy osztálybeosztást (koncentráció tartomány oszlop), majd meghatározzuk az egyes osztályokba tartozó elemek számát (gyakorisági adatok száma). Az Excel „gyakoriság” függvényének segítségével számítjuk ki a gyakorisági adatok számát (6.4 táblázat).

7.4. táblázat - A feladat megoldása – 2. rész

Konc. tart. A	Gyakorisági adatok száma K	Relatív gyakoriság K/n	Relatív gyakoriság (%) K/n (%)	Konc. tart. A	Kumulatív Gyakorisági adatok száma K	Kumulatív Relatív gyakoriság K/n	Kumulatív Relatív gyakoriság (%) K/n (%)
2	0	0,000	0,00	2	0	0,000	0,00
4	0	0,000	0,00	4	0	0,000	0,00
6	2	0,067	6,67	6	2	0,067	6,67
8	2	0,067	6,67	8	4	0,133	13,33
10	5	0,167	16,67	10	9	0,300	30,00
12	4	0,133	13,33	12	13	0,433	43,33
14	3	0,100	10,00	14	16	0,533	53,33
16	3	0,100	10,00	16	19	0,633	63,33
18	4	0,133	13,33	18	23	0,767	76,67
20	1	0,033	3,33	20	24	0,800	80,00
22	5	0,167	16,67	22	29	0,967	96,67
24	0	0,000	0,00	24	29	0,967	96,67
26	0	0,000	0,00	26	29	0,967	96,67
28	0	0,000	0,00	28	29	0,967	96,67
30	0	0,000	0,00	30	29	0,967	96,67
32	0	0,000	0,00	32	29	0,967	96,67
34	0	0,000	0,00	34	29	0,967	96,67
36	0	0,000	0,00	36	29	0,967	96,67
38	0	0,000	0,00	38	29	0,967	96,67
40	0	0,000	0,00	40	29	0,967	96,67
42	1	0,033	3,33	42	30	1,000	100,00
Össz	30	1,000	100,00

A relatív gyakoriság és a relatív %-os gyakoriság oszlopok kitöltése után megrajzolhatók a gyakorisági eloszlás és kumulált gyakorisági eloszlás függvényeink (6.4 ábra és 6.5 ábra).

7.4. ábra - SO₂ tartalom relatív gyakorisági eloszlása

SO2 tartalom relatív gyakorisági eloszlása

7.5. ábra - SO₂ összegzett relatív gyakorisági eloszlása

SO2 összegzett relatív gyakorisági eloszlása

Szórás, konfidencia intervallum

Példa: Egyik munkánk során Veszprémben szálló por mintavételezést végeztük 4 helyszínen (6.6. ábra) elsődlegesen olyan meggondolásból, hogy meghatározhassuk, a járműforgalommal különbözőféleképpen terhelt területeken a PM₁₀-ben milyen arányt képvisel a PM_2,5 frakció. A mérési sorozatok megkezdése előtt a két – mérések során alkalmazott – mintavevővel párhuzamos méréseket végeztünk (azonos előleválasztó fejeket használva, 6.5 és 6.6. táblázat), annak megállapítására, hogy a mérések során kapott eredmények mennyiben felelnek meg a pontossági kritériumoknak.

7.6. ábra - Párhuzamos mérési helyszínek - Veszprém

Elvégeztük a 95%-os megbízhatósági szinthez tartozó statisztikai vizsgálatokat, a számítási eredmények alapján pedig megállapítható volt, hogy a két féle előleválasztó fejjel végzett párhuzamos összemérésekre kiszámolt K₉₅ konfidencia intervallumok^[3] teljesítik a mérések pontosságával kapcsolatos előírásokat, azaz K₉₅ ≤ 5 µg/m³.

7.5. táblázat - PM₁₀ - párhuzamos mérések eredményei

Készülék / Minta azonosító		Dátum/Idő	t [h]	p [mbar]	T [°C]	V [m³]	V₀ * [m³]	mpor [mg]	c* [µg/m³]
Készülék / Minta azonosító		indul-leáll	t [h]	p [mbar]	T [°C]	V [m³]	V₀ * [m³]	mpor [mg]	c* [µg/m³]
861	P1	szept.04 16:00 szept.05 16:00	24	957	25,6	754,2	699,2	10,0	14,3
861	P2	szept.05 16:00 szept.06 16:00	24	958	26,8	755,3	698,0	12,9	18,5
861	P3	szept.06 16:00 szept.07 16:00	24	954	28,4	758,9	694,7	29,3	42,2
963	P4	szept.04 16:00 szept.05 16:00	24	958	25,4	753,6	699,8	9,5	13,6
963	P5	szept.05 16:00 szept.06 16:00	24	954	26,9	757,0	696,5	13,4	19,2
963	P6	szept.06 16:00 szept.07 16:00	24	954	28,4	758,9	694,7	28,9	41,6

*293K hőmérsékletre; 1,013kPa nyomásra átszámítva

7.6. táblázat - PM_2,5 - párhuzamos mérések eredményei

Készülék / Minta azonosító		Dátum/Idő	t [h]	p [mbar]	T [°C]	V [m³]	V₀ * [m³]	mpor [mg]	c* [µg/m³]
Készülék / Minta azonosító		indul-leáll	t [h]	p [mbar]	T [°C]	V [m³]	V₀ * [m³]	mpor [mg]	c* [µg/m³]
861	P7	okt.27 15:00 okt.28 15:00	24	944	13,9	706,0	708,4	50,9	71,9
861	P8	okt.28 15:00 okt.29 15:00	24	942	15,5	709,3	705,6	29,3	41,5
861	P9	okt.29 15:00 okt.30 15:00	24	937	16,8	711,9	702,2	10,7	15,3
963	P10	okt.27 15:00 okt.28 15:00	24	944	14,2	708,5	708,1	50,5	71,3
963	P11	okt.28 15:00 okt.29 15:00	24	942	15,9	711,2	705,1	29,2	41,4
963	P12	okt.29 15:00 okt.30 15:00	24	935	17,7	713,7	700,3	10,9	15,6

* 293K hőmérsékletre; 1,013kPa nyomásra átszámítva

Látható, a következő . táblázatban, hogy a K₉₅ konfidencia intervallumok mindkét esetben teljesítik a pontossággal kapcsolatos előírásokat (K₉₅ ≤ 5 µg/m³).

7.7. táblázat - Statisztikai vizsgálatok eredménye

Párhuzamosan mért minták jele	D_i (µg/m³) (különbség)	D_i² (µg/m³)²	D_i² /2n	∑D_i² /2n	S_a	K₉₅
\|P1-P4\|	0,7	0,49	0,082	PM₁₀
\|P2-P5\|	0,7	0,49	0,082	0,223	0,47	2,03
\|P3-P6\|	0,6	0,36	0,060	0,223	0,47	2,03
\|P7-P10\|	0,6	0,36	0,060	PM_2,5
\|P8-P11\|	0,1	0,01	0,002	0,077	0,28	1,20
\|P9-P12\|	0,3	0,09	0,015	0,077	0,28	1,20

Kiugró értékek ellenőrzése (normalizálás)

Vannak esetek, amikor egy adathalmazról el kell döntetnünk, hogy a kiugrónak vélt adatokat kizárjuk-e, vagy figyelembe vegyük a számításoknál. Több módszer is létezik az ilyen vizsgálatokra, mint például a Dixon-féle r-próba, a Nalimov-próba, illetve a jelen esetben bemutatott – legegyszerűbb és leggyorsabb – Z-próba.

Példa: Egy adatsor a következő elemekből áll: 9, 10, 14, 8, 11, 20, 11, 8, 3, 10, 11. Kizárjuk-e a kiugrónak vélt 3-as és 20-as adatokat az átlagszámításból?

Standardizálással oldható meg a feladat a legegyszerűbben.

7.7. ábra - A standard normáleloszlás sűrűségfüggvénye

Lehetőség van Excel programban standardizálásra és a kritikus Z érték meghatározására. Standardizálás: Normalizálás(X;középérték;szórás), mely középértékkel és szórással megadott adatokból standardizált (normalizált) értéket ad eredményül, vagyis a számított Z értéket. A kritikus Z érték: Storneloszl(X), mely a standardizált normáleloszlás értékét számítja ki, így használható a kritikus Z értéket tartalmazó táblázat helyett.

7.8. táblázat - Feladat megoldása standardizálással

adatok	3
	8
	8
	9
	10
	10
	11
	11
	11
	14
	20
átlag	10,45
szórás	4,18
Z(max)=(Xmax-Xátl)/Sx	2,28
Z(min)=(Xmin-Xátl)/Sx	-1,78

Akkor tekintenénk az értékeket kiugrónak jelen példában a Z próba alapján, ha ± 3 értéken kívül esne. Ez a feltétel nem teljesül, tehát nem kiugró értékek jelen vizsgálati módszer alapján.

^[3] Ismert paraméterű mintából következtetünk az ismeretlen paraméterű alapsokaságra. Az alkalmazásokban legtöbbször 95%-os megbízhatósági szintű konfidencia-intervallumokat használnak.

8. fejezet - Környezetvédelem során mért adatok különleges feldolgozása

Tartalom

A mérőeszközök megválasztása
Megfelelő mérési körülmények biztosítása

A mérőeszközök megválasztása

A mérőeszközöket, műszereket jellemezhetjük azok leolvasási pontosságával. Vegyük példának a mérlegeket. Beszélhetünk táramérlegről, vagy éppen a pontosabb eredményeket mutató analitikai mérlegről. A megfelelő választást a vizsgálat célja határozza meg.

8.1. ábra - Nagytérfogat-áramú pormintavevő, és a szűrőpapíron felfogott porminta

Példa: Adott egy gravimetriás módszerrel meghatározandó porminta (7.1 ábra). A mintát egy nagytérfogatú pormintavevő segítségével vesszük. Adott térfogatárammal levegőt szívatunk át a rendszeren, és a „levegő útjába” szűrőpapírt teszünk. A szűrőpapírt (szabványban meghatározott módon) klimatizált mérlegszobában a mintavétel előtt üresen, és a mintavételezés után is lemérjük. A kettő különbsége adja a mérési időintervallumra jellemző por tömegét. A tömegeket minden esetben korrigálni kell a referencia szűrőpapírunk tömegváltozásával. Rendkívüli pontosságot megkövetelő mérési folyamatról révén szó, ebben az esetben alapkövetelmény, hogy mérlegünk négy tizedes jegy pontosságig legyen képes eredményt szolgáltatni.

Felesleges nagy érzékenységű analitikai mérleget használnunk például akkor, ha valamilyen reagens-oldatot készítünk, amit aztán mérőhengerrel adunk a vizsgálandó anyaghoz. Fontos szem előtt tartani a mérőműszerek mérési tartományát is, hogy azok a vizsgálat céljának megfeleljenek.

Megfelelő mérési körülmények biztosítása

A mintavétel módja és helyszíne minden esetben függ a vizsgálat céljától, a szennyezés jellegétől, kiterjedésétől, illetve hogy milyen típusú mintavételezésről van szó (on-line^[4] , in-line ^[5] , vagy off-line ^[6] ). Ezek figyelmen kívül hagyása esetén a mintánkra vonatkozó eredmények nem lesznek reprezentatívak. A helyszíntől távol vizsgálandó minták esetében (off-line) figyelemmel kell lenni a minták tartósítására, szállítására és tárolására. A vonatkozó szabványok részletes leírást adnak minden mintavételezéssel és vizsgálattal kapcsolatos tevékenységről, előírásokról.

Vízmintavétel esetében például fontos szem előtt tartani, hogy a levegővel történő érintkezés megváltoztathatja a minta tulajdonságait. A vízminőség legtöbb esetben helyileg és térben is változik, tehát rendszerint sorozatos mintavétel szükséges. Felszín alatti vizek mintavételezése esetén (monitoring kútból) nem a kútban összegyűlt vizet vizsgáljuk, hanem a kútban lévő víz mennyiségének háromszorosát először kitermeljük, és az utána, a földtani közegből helyére áramló vízből kell a mintát venni. A mintatároló edényre vonatkozóan is vannak követelmények, a víz szerves komponenseinek vizsgálatához rendszerint üvegből, szervetlen komponenseinek analíziséhez pedig műanyagból készült palackot kell használni, mintával ezeket túl kell tölteni, és légmentesen szállításhoz lezárni

Földtani közeg vizsgálatánál lehetőleg genetikai szintenként kell mintázni. A művelt felső réteget a művelés mélységéig (0-20 vagy 0-30 cm), a bolygatatlan altalajt általában 30 cm-enként. A vizsgálatok jellegéből, céljából adódóan azonban a mintavételi mélység változhat. Szennyezett területen, pl. gyárudvaron, gyakran több méter mélységben nem talaj a takaró réteg, hanem salak vagy iszapok, egyéb üzemi hulladék. Szennyezés esetén a transzportfolyamatokat a földtani közeg szerkezete jelentősen befolyásolja.

Levegőtisztaság-védelem területén is megvannak a követelmények a mintavételezés reprezentatív kivitelezéséhez. Immissziós telepített/mobil mérőállomások esetén a mintavételi magasság 3-5 m magasságban legyen, a mintavevő beszívó nyílásait és a meteorológiai árbocot környezeti tárgyak ne zavarják (épületek, fák), és helyükről a szabad égbolt legalább 45° alatt látható legyen minden irányban. Az állomás jó átszellőzésű legyen, és nem lehet szennyező forrás közvetlen közelében. Ez utóbbi miért fontos? A várpalotai mérőkonténer a város egyik legforgalmasabb útszakasza mellett van telepítve. Ennek köszönhetően téli (fűtési) időszakban a szükségesnél gyakrabban kell elrendelni szmog riadót a megnövekedett szálló por koncentráció miatt.

^[4] Helyszínen történő szakaszos mintavétel, átlagértékeket kapunk.

^[5] Helyszínen történő folyamatos mintavétel, melyből átlagérték származtatható.

^[6] Helyszíntől függetlenül, egy távolabbi helyszínen történik az analízis.

9. fejezet - Adattárolási módok számítógépes feldolgozás során

Tartalom

Osztott adatbázisok

GRID rendszerek

Adatbiztonság

Az adatbázis többnyire strukturált adatok összessége, amelyet egy tárolására, lekérdezésére és szerkesztésére alkalmas szoftvereszköz kezel. Ezek közül ma már egyre inkább az osztott adatbázisok jelentősége nőtt meg.

Osztott adatbázisok

Az osztott adatbázisok létrehozásának célja több irányba is mutat. E célok lehetnek:

minél nagyobb adatelérési sebesség biztosítása – például a GRID típusú hálózatok alkalmazása esetén;
megosztott munkavégzés (ide értve nem csak a gépek számítási kapacitását, hanem az emberi erőforrásokat is)
megnövelt adatbiztonság
a legjobb tároló hely kihasználtság biztosítása

E célok megvalósítását a következő példák szemléltetik.

GRID rendszerek

Az elmúlt évek legígéretesebb informatikai fejlesztési iránya a GRID rendszerek irányába mutatott. Az elképzelés alapja, hogy a mai számítógépek számítási teljesítménye – és sok esetben tárolási is – jelentősen meghaladja a hétköznapi felhasználáshoz szükséges értéket. Tipikus példa erre az adminisztrációs számítógépek, amelyek, melyek a tapasztalatok alapján átlagosan legfeljebb 30%-t használják ki a rendszer számítási teljesítményének. A nem használt teljesítmény kihasználásával több nagy számításigényű alkalmazást sikerült világszerte megvalósítani. Az első szakmailag igen sikeres – bár a célját eddig el nem érő – kísérlet a SETI@Home rendszere volt, amit a Berkeley Egyetem fejlesztett és tart fent a mai napig. E rendszerben a legjobb időszakban 1,5 millió számítógép dolgozott egyszerre.

A siker hatására számos egyéb területre elkezdték fejleszteni a GRID-es alkalmazásokat, így nemsokára megjelentek az adatbázis kezelés területén, majd megalkották az Open Grid Services Architecture-t, amely jelentősen megkönnyítette a fejlesztési munkákat.

A térinformatika területén szintén a számítási teljesítmény minél jobb kihasználása volt az elsődleges cél, de itt már megjelenik a nagy méretű adatbázisok felosztásának az igénye is.

Adatbiztonság

Az adatbázisok megosztása esetén kiemelt szempont lehet az adatok biztonsága. Egy adatbázis felépítése és karbantartása ma már lényegesen nagyobb értéket képvisel egy rendszer összértékében, mint 15-20 évvel ezelőtt (8.1 ábra). Ezen felül, míg egy szoftver vagy hardver elemet újra elő lehet állítani, az adatra ez legtöbbször nem igaz. Ezért egyre fontosabb az adatok biztonsága.

9.1. ábra - A hardver, szoftver és az adat árainak egymáshoz viszonyított aránya a számítástechnika korai korszakában és ma

Ezt az adatvédelmi igényt meg lehet oldani folyamatos mentési rendszer felállításával. Ez régebben egyszerű mentésekkel oldották meg (például minden éjszaka), amit később kiegészített a mentett adatok folyamatos tükrözése (például RAID1 vagy RAID5 szervezésű meghajtók üzembe állításával). Ezeknek a módszereknek közös hátrányuk volt, hogy jellemzően fizikailag közel tárolták egymáshoz az éles és a mentett adatokat, ami egy szerencsétlenség vagy egyéb nem várt esemény bekövetkeztekor gyakran járt teljes adatvesztéssel. A széles sávú internet megjelenésével lehetségessé vált a mentések és az éles adatok földrajzilag történő elkülönítése.

A földrajzi elkülönítés klasszikus formája a teljes adatállomány teljes átmásolása a világ más pontján lévő biztonsági tározóra. Ez azonban nagy méretű adatbázisok esetén – még a korszerű tömörítési módszerek ellenére is – igen időigényes volt. Erre hozott megoldást az osztott adatbázisok használata, amelyet ötvöztek a 90’ évek végén – igaz más okokból – népszerűvé vált Peer-To-Peer (P2P) technikájával.

A kialakított megoldás alapgondolata a következő ábrasorral szemléltethető. Egy 10 TiB méretű adatbázis hardver oldali felépítése klasszikus módon a következő (8.2 ábra):

9.2. ábra - Klasszikus – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet

Az osztott adatbázisok egyrészt logikailag feldarabolva az adatbázist lecsökkentik a részek méretét – bár sok esetben megnövelik az összes méret – így lehetővé válik, hogy minden rész önálló, kisebb méretű, olcsóbban beszerezhető és fenntartható tárhelyen helyezkedjék el. Ez egyben segíti az adatlekérdezéshez kötődő sávszélesség legjobb kihasználását is. (8.3 ábra)

9.3. ábra - Osztott – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet

A legkorszerűbb és igen költséghatékony rendszerek jellemzően nem használnak helyi fizikai tükrözést, hanem adatbázis-szegmensenként legalább három számítógép között P2P kapcsolattal folyamatosan biztosítják a gépeken lévő tartalom szinkronizálását. Ez esetben jellemzően mindhárom gép képes adatszolgáltatásra is, ami nagy mértékben megnöveli a lekérdezések válaszsebességét – főleg konkurens felhasználói környezetben. Biztonsági okokból e rendszerekről is készül időnként teljes adatbázismentés, ami egy a szándékos – emberi – beavatkozásra történő adatvesztés kivédésére szolgál. E korszerű rendszerek felépítését alább láthatjuk (8.4 ábra)

9.4. ábra - Korszerű – adatbiztonságra kiépített – adatbázis hardver környezet

10. fejezet - Adatábrázolási technikák, mérési hibák vizuális ábrázolása, görbe és trendvonal illesztése adatsorokra

Tartalom

Adatábrázolási technikák

Poláris diagram – sugár diagram
Pontdiagram és a vonaldiagram
Területdiagram
Kör- és perecdiagram
Oszlopdiagram

Adatábrázolási technikák

Mért adataink gyors áttekintésének módszere a grafikus ábrázolás, végeredménye pedig a grafikon. A grafikonos ábrázolás-technikai eszközei mértani elemek: pont, vonal, téglalap, kör, továbbá ezek kombinációi, így ennek megfelelően beszélhetünk pont-, vonal-, terület- és síkdiagramról.

A grafikus ábrázolás módját, eszközét mindig az elérni kívánt cél határozza meg. A mérések számától, illetve a vizsgált változó jellegétől függően különböző ábrázolási módok alkalmazhatók. Néhány speciális grafikus ábra (mint a dobozdiagram és a szár-levél diagram) csak kimondottan statisztikai programok segítségével készíthető el (SPSS), de a legtöbb – a manapság már minden számítógép használó számára elérhető – Excel program segítségével is létrehozható.

Poláris diagram – sugár diagram

A diagramtípus alkalmazási módjának szemléletes bemutatására nézzünk meg egy példát. Készítsünk el a vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom csillagábrát a megadott adatok alapján.

10.1. táblázat - Vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom jellemző és számított adatsorai

	mg/l	egyenérték súly	mg- egyenérték	egyenérték % S	a (cm)	2,6	2,6
K⁺	0	39,098	0	0	0	2,6	0	K⁺
Na⁺	2	22,99	0,87	1,22	0,1	2,6	2,6
Ca²⁺	101,2	20,04	5,05	70,68	7,4	2,6	0,1	Na⁺
Mg²⁺	24,4	12,152	2,008	28,1	2,9	2,6	2,6
∑kation	-	-	7,145	100	-	2,6	7,4	Ca²⁺
SO₄^2-	10	48,029	0,208	1,51	0,2	2,6	2,6
Cl^-	0,5	35,453	0,014	0,1	0	2,6	2,9	Mg²⁺
HCO₃^-	555	61,017	9,096	65,83	6,9	2,6	2,6
CO₃^2-	135	30,005	4,499	32,56	3,4	2,6	0,2	SO₄²⁺
∑anion	-	-	13,817	100	-	2,6	2,6
∑	-	-	20,962	-	-	2,6	0	Cl^-
621 µS/cm	sugár r				2,6	2,6	2,6
						2,6	6,9	HCO₃^-
						2,6	2,6
						2,6	3,4	CO₃^2-

El kell készíteni a táblázat első fele alapján a poláris diagramunk adattábláját (utolsó 3 oszlop, 9.1 táblázat. Vizsgált mintavételi helyre jellemző összessó-tartalom jellemző és számított adatsorai), majd a diagramvarázsló sugár-diagram típusának kiválasztásával elkészíthető az alábbi, 9.1 ábra.

10.1. ábra - Összes só-tartalom csillagábra

Az ábráról leolvasható, hogy a legnagyobb részesedésű a kationok közül a Ca²⁺, az anionok közül pedig a HCO₃^-.

Pontdiagram és a vonaldiagram

A pontdiagram és a vonaldiagram nagyon hasonlít egymásra, különösen, ha a pontdiagramon az összekötő vonalak is fel vannak tüntetve. Egy formázott pontdiagram számértékeket jelenít meg a vízszintes és a függőleges tengely mentén; az értékeket pedig az adatpontokban egyesíti. Ezzel szemben a formázott vonaldiagram a kategóriaadatokat (jelen esetben időközöket) a vízszintes tengely mentén, a számértékeket pedig a függőleges tengely mentén egyenletesen elosztja.

10.2. ábra - Példaként bemutatott 9.3 diagramjának adatsora – részlet a 24 órás mérés eredményeiből

10.3. ábra - Hőmérséklet – UVA sugárzás pont (felső)- illetve vonaldiagramon (alsó)

Tehát pont- és a vonaldiagram között az a legfőbb különbség, ahogyan az adatokat a tengelyeken ábrázoljuk. Ha például a 9.2 ábrán szereplő munkalapadatok alapján készítünk egy pont- és egy vonaldiagramot, látható, hogy az adatok elosztása eltérő lesz a két esetben (9.3. ábra.).

Területdiagram

Egy vagy több adathalmazból képezett görbe által lefedett terület megjelenítését szolgálja (9.4 ábra). Vonal-, illetve pontdiagramnál látványosabb prezentációját szolgálja az adatoknak.

10.4. ábra - 2010. október 8-9. – Devecseri mérésünk PM₁₀ koncentráció értékei és a határérték

2010. október 8-9. – Devecseri mérésünk PM10 koncentráció értékei és a határérték

Kör- és perecdiagram

A kördiagram és a perecdiagram is a részek egészhez való viszonyát tükrözi, a perecdiagram ugyanakkor több adatsort is tartalmazhat egyszerre.

10.5. ábra - Földhasználat művelési ágak szerint (2010) – KSH adatai szerint

A perec diagram lehetőséget biztosít több adatsor egyidejű összehasonlítására (9.6 ábra). Az előző ábrán látható 2010-es statisztikai adatokat összehasonlíthatjuk például korábbi évek statisztikai adataival. Példánk esetében a 2008-as és 2010-es évet vizsgáltam.

10.6. ábra - Földhasználat művelési ágak szerint (2010-külső perec, 2008-belső perec) – KSH adatai szerint

Oszlopdiagram

Az oszlopdiagramok a nagyságok, eloszlások, vagy részekből összetevődő egész alkotóelemeinek egymáshoz való viszonyát (halmozott oszlop) képesek szemléltetni. Az oszlopok nagysága rendszerint arányos az ábrázolni kívánt mennyiséggel.

Az oszlopdiagram szerkezete alapján lehet egyszerű, kétirányú (két egymással logikailag összefüggő adatsor esetén, 9.7 ábra), osztott (összetétel ábrázolása, 9.8 ábra). Speciális változata a gyakorisági eloszlások szemléltetésére használt ún. hisztogram, melynek vízszintes tengelyén az osztályokat, függőleges tengelyén a gyakoriságokat ábrázoljuk (9.7 ábra).

10.7. ábra - Balaton Pláza – egyidejűleg mért PM₁₀/PM_2,5 szálló por frakciók koncentráció értékei

Balaton Pláza – egyidejűleg mért PM10/PM2,5 szálló por frakciók koncentráció értékei

10.8. ábra - Balaton Pláza – PM_2,5 frakció aránya a PM₁₀ koncentrációban

Balaton Pláza – PM2,5 frakció aránya a PM10 koncentrációban

11. fejezet - Nagy mennyiségű adatok kezelése és összehasonlítási módszerei

Tartalom

Lorenz görbe és a Gini együttható

Bármilyen adatfeldolgozás első lépése az adatsor ellenőrzése, melynek során a kiugró, nem reális értékeket ki kell zárni az értékelésből. Számolnunk kell azzal a ténnyel is, hogy hosszú időtartamú mérések esetén meghibásodás, kalibrálás miatt mindig történik adatkiesés is. A hatályos jogszabály alapján ahhoz, hogy az értékelés elfogadható legyen, minimálisan 90 %-os adatmennyiség szükséges.

Az adatok magas szintű kezelésének az alapja a kapcsolati vizsgálatok. A kapcsolati vizsgálatok környezetvédelemben használt leggyakoribb típusa a koncentráció görbe és a Lorenz.

Lorenz görbe és a Gini együttható

A összes adat jelentős részének kis tartományba történő csoportosulását koncentrációnak nevezzük.

Típusai:

Abszolút (a csoportosulás nagyon kis tartományba történik)
Relatív (a teljes tartományhoz képest kicsi a tömörülés)
Negatív (ha egyenletes az eloszlás)

A koncentráció ábrázolását Lorenz görbével szoktuk megoldani. Ezt rangsorból vagy osztályközös kumulált relatív gyakoriságból állítjuk elő.

A Lorencz görbe egy egységoldalú (jellemzően 100*100-as) négyzetben elhelyezett ábra, ami a kumulált relatív gyakoriságok függvényében ábrázolja a kumulált relatív értékösszegeket. Amennyiben az egységeknek az értékösszegből való részesedése azonos, azaz teljesen egyenletes az eloszlás, akkor a kumulált relatív gyakoriságok és a kumulált relatív értékösszegek minden esetbe megegyeznek. Ekkor a görbe azonos a négyzet átlójával. (Teljes egyenlőség áll fenn.)

Előfordulhat, hogy teljes koncentráció, vagyis teljes egyenlőtlenség lép fel, ebben az esetben a görbe egybeesik a négyzet oldalaival (azaz a tengelyekkel).

A Lorenz görbe kiemelt jelentőségű része a koncentrációs terület, azaz az átló és a Lorenz görbe által bezárt terület. Minél nagyobb ez a terület, annál nagyobb a koncentráció. Bizonyos esetekben a görbe már nem ad értékelhető eredményt, ezért azt számszerűsíteni kell. Erre szolgál a Gini együttható.

Számítása:

Példa:

Egy ipari parkban 14 szennyvíz-forrás üzemel. Ábrázoljuk, illetve fejezzük ki Gini együtthatóval, mennyire egyenletesen veszik ki a részüket az ipari park összes szennyezéséből az egyes források.

11.1. táblázat - Szennyvízkibocsátók az ipari parkban.

	A	B	C	D
1	Forrás megnevezése	Szennyvíz kibocsájtás (m3/nap)	→	Rangsor
2	Kis ZRt.	100		50
3	Lakatos Kft.	250		90
4	Kereki Kft.	110		100
5	Kovács ZRt.	340		100
6	Szalonka NyRt.	50		110
7	Kocsis Kft.	230		110
8	Nyulas Kft.	170		120
9	Tamás NyRt.	210		150
10	Mérleg ZRt.	100		170
11	Takács Kft.	120		210
12	Motoros Kft.	90		230
13	Keleti ZRt.	150		230
14	Lajos Kft.	110		250
15	Kertész Kft.	230		340

Első lépésként rangsort (lásd. fent), majd osztályközös gyakoriságokat készítünk.

A fenti egyenleteket MS Office és LiberOffice esetén a következő módon tudjuk kiszámolni:

11.2. táblázat - Előzetes számítások a Gini-együtthatóhoz.

	F	G
1	Osztályközös gyakoriság
2	N	14*
3	k	4**
4	h	97,5***

* MS Office esetén: =DARAB(D:D)

* LibreOffice esetén: =DARAB(D2:D15)

** MS Office esetén: =KEREK.FEL(LOG10(DARAB(D:D))/LOG10(2);0)

** LibreOffice esetén: =KEREK.FEL(LOG(DARAB(D2:D15);10)/LOG(2;10);0)

***MS Office és LibreOffice esetén: =(MAX(D:D)- MIN(D:D))/G3

Következő lépésben létrehozzuk az osztályközöket:

11.3. táblázat - Osztályközök létrehozása.

	J	K	L	M
1	Y_i0	Y_i1	X_i	f_i
2	50	122	86	7
3	123	195	159	2
4	196	267	231,5	4
5	268	340	304	1

Ehhez a táblázathoz az alábbi makrót kellet használni MS Office-ban:

Sub Ösztályköz_képzés()

Dim Köz As Double

Dim t, r As Integer

Köz = Cells(2, 4)

For t = 1 To Cells(3, 7)

If t = 1 Then

Cells(t + 1, 10) = Int(Köz)

Else

Cells(t + 1, 10) = Cells(t, 11) + 1

End If

Köz = Köz + Cells(4, 7)

Cells(t + 1, 11) = Int(Köz)

Cells(t + 1, 12) = (Cells(t + 1, 10) + Cells(t + 1, 11))/2

Next t

r = 0

Köz = 1

For t = 2 To Cells(2, 7) + 1

If Cells(Köz + 1, 11) >= Cells(t, 4) Then

'Még az aktuális osztályközben vagyunk

r = r + 1

Else

’Új közbe léptünk

Cells(Köz + 1, 13) = r

Köz = Köz + 1

r = 1

End If

Next t

End Sub

Következő lépésként a relatív gyakoriságot és a relatív kumulált gyakoriságot számoljuk ki:

11.4. táblázat - Gyakoriságok értékei.

	M	N	O
1	f_i	g_i	g’_i
2	7	0,500	0,500
3	2	0,143	0,643
4	4	0,286	0,929
5	1	0,071	1,000

Ezt MS Office és LiberOffice esetén is a következő képletekkel értük el:

11.5. táblázat - Gyakoriságok számítása.

	M	N	O
1	f_i	g_i	g’_i
2	7	=M2/$G$2	=N2
3	2	=M3/$G$2	=O2+N3
4	4	=M4/$G$2	=O3+N4
5	1	=M5/$G$2	=O4+N5

Ezután meghatározzuk a relatív értékösszegsort és a kumulált relatív értékösszegsort:

11.6. táblázat - Érkékösszegsorok.

	P	R	O
1	s_i	Z_ii	s’_i
2	602	0,280	0,280
3	318	0,148	0,428
4	926	0,431	0,859
5	304	0,141	1,000

Ezt MS Office és LiberOffice esetén is a következő képletekkel értük el:

11.7. táblázat - Értékösszegsorok számítási módja.

	P	Q	R
1	s_i	Z_ii	s’_i
2	=L2*M2	=P2/SZUM(P2:P5)	=Q2
3	=L3*M3	=P3/SZUM(P2:P5)	=Q3+R2
4	=L4*M4	=P4/SZUM(P2:P5)	=Q4+R3
5	=L5*M5	=P5/SZUM(P2:P5)	=Q5+R4

A Lorenz görbe megrajzolásához a relatív kumulált gyakoriságot (O oszlop) kell ábrázolni a kumulált relatív értékösszegsor függvényében. (Javasolt XY grafikont alkalmazni.) Az eredmény a következő lesz:

11.1. ábra - Lorenz görbe.

A Gini együttható meghatározásához érdemes segédtáblázatot készíteni:

11.8. táblázat - Gini együtthatóhoz szükséges segédtábla

	S	T	U	V
1
2		0,140	0,000
3		0,095	0,074	Gini együttható:
4		0,400	0,277	0,259
5		0,141	0,131
6	Összesen:	0,776	0,482

Ezt MS Office és LiberOffice esetén is a következő képletekkel értük el:

11.9. táblázat - Gini együtthatóhoz szükséges segédszámítások.

	S	T	U	V
1
2		=O2*P2/SZUM($P$2:$P$5)	0
3		=O3*P3/SZUM($P$2:$P$5)	=O2*P3/SZUM($P$2:$P$5)	Gini együttható:
4		=O4*P4/SZUM($P$2:$P$5)	=O3*P4/SZUM($P$2:$P$5)	=T6+U6-1
5		=O5*P5/SZUM($P$2:$P$5)	=O4*P5/SZUM($P$2:$P$5)
6	Összesen:	=SZUM(T2:T5)	=SZUM(U2:U5)

A Gini együttható értéke 0,259 (igen kis mértékű koncentráció tapasztalható), ami azt jelenti, hogy a szennyezők közül bár vannak nagyobbak, egyikük sem erőteljes annyira, hogy a szennyvízkibocsátása meghatározó legyen.

12. fejezet - Adattrendek használatának lehetőségei a fenntartható fejlődés tervezésének támogatására

Tartalom

Várpalota térségének levegőminősége és változása az elmúlt évtizedekben

NO₂ koncentrációk változása
SO₂ koncentrációk változása
Ülepedő por koncentrációk változása
Ammónia koncentrációk változása

Várpalota és térsége levegőminőségének jellemzése

Az emberi élet minőségét jelentősen befolyásolja a környezeti levegő minőségének alakulása. Egy lakott terület levegőminőségét elsősorban a lakosság életvitele, a hatásterületen belüli ipari tevékenység és a közlekedésből származó levegőszennyezés határozza meg.

Várpalota térségének levegőminősége és változása az elmúlt évtizedekben

Jelen fejezetben a „Székesfehérvár - Veszprém Pólustengely” közepén fekvő Várpalota város példáján keresztül vizsgáljuk meg diagramok segítségével a levegőminőség változását, a főbb levegőszennyező forrásokat, és a komponensenkénti megoszlást a több évtizedes trend alapján. Az adatsorok az OLM rendszeréből, továbbá a KDT-KTVF Veszprémi Levegőtisztaság-védelmi Laboratóriumából származnak.

Várpalota a Dunántúlon, Veszprém megye északkeleti szélén terül el. A lakosság számát tekintve a megye negyedik legnagyobb városa. Budapesttől 90 km-e, két megyeszékhely, Székesfehérvár és Veszprém között félúton fekszik, a Bakony lábánál, a Balatontól alig 30 km-re.

Várpalota^[7] város fejlettségét az elmúlt fél évszázadban döntően a nehéziparral lehetne jellemezni. Így érthető, hogy a térség környezeti és levegőminőségi állapota az országos átlagnál lényegesen rosszabb volt. Fontos azonban megjegyeznünk, hogy az ipari szennyezések – melyek elsődlegesen a várpalotai szénbányászathoz, Inotai Hőerőműhöz, Alumíniumkohóhoz, Nitrogénművek Zrt.-hez voltak köthetők – jelentősen csökkentek az elmúlt években, amely elsősorban a 90-es évek változásainak köszönhető:

a nehézipar összeomlása,
1996-ban véglegesen megszűnt a szénbányászat, a Földtani Kutató és Fúró Kft,
1997-ben felszámolták az addig stabilnak hitt Vegyesipari Szövetkezet is.

A 90-es évek második felében a város és térsége jelentős fejlesztéseket valósított meg, amely főként az 1995-ben elnyert japán hitelből jöhetett létre. A fejlesztéseket az a tény is nélkülözhetetlenné tette, hogy egy rendszerváltás előtti felmérés az ország egyik legszennyezettebb területének minősítette Várpalotát és térségét. Megvalósult többek között Várpalota és további öt település – Berhida, Ősi, Öskü, Pétfürdő, Tés - földgáz- és ivóvízellátását, valamint a szennyvíztisztítás fejlesztését célzó program is, amely 1995 szeptemberében kezdődött és 1998. október végéig el is készült.

A következőkben nézzük meg a legjelentősebb légszennyező anyagok koncentrációinak változását, miként változtak az évtizedek során.

NO₂ koncentrációk változása

12.1. ábra - Várpalota, Inota, Pétfürdő – NO₂ koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

Várpalota, Inota, Pétfürdő – NO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

SO₂ koncentrációk változása

12.2. ábra - Várpalota, Pétfürdő – SO₂ koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

Várpalota, Pétfürdő – SO2 koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

Ülepedő por koncentrációk változása

12.3. ábra - Várpalota, Inota, Pétfürdő – Ülepedő por koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2008 között

Ammónia koncentrációk változása

Pétfürdőn a manuális mérések keretében az ammónia koncentrációját is regisztrálják, amelyre a műtrágyagyártás kibocsátásainak ellenőrzése miatt van szükség.

12.4. ábra - Pétfürdő – Ammónia koncentrációk éves átlagértékeinek változása 1979-2006 között

Várpalota és térsége levegőminőségének jellemzése

A 11.1 - 11.4. számú diagramokon jól látható, hogy a régebben jelentős mértékben szennyezett levegőjű Várpalota és környéke jelentős változáson ment keresztül és megy napjainkban is. Várpalota esetében elmondható – csakúgy, mint városaink nagy többségénél –, hogy ma már leginkább a közlekedésből származó emisszió okoz esetenként magasabb szennyezőanyag-koncentrációt.

Különösen a nitrogén-oxidok és a szálló por légköri koncentrációjának alakulását kell figyelemmel kísérnünk, tekintettel arra, hogy a kedvezőtlen meteorológiai körülmények között ezen anyagok koncentrációja esetleg meghaladhatja a határértéket, továbbá nyári hónapokban az ózon koncentrációja lehet átmenetileg magasabb a megengedett egészségügyi határértékeknél. Összességében azonban elmondható, hogy Várpalota ma már a közepes légszennyezettségű városok közé tartozik.

Pétfürdőn szintén nagymértékű javulás tapasztalható, csakúgy, mint Várpalota-Inotán. Amíg a levegőszennyezettség csökkenése Pétfürdőn főként a Nitrogénművek Zrt. kibocsátásainak mérséklődése, valamint a technológia korszerűsödése folytán következett be, addig Inotán a javulás legfőbb oka a hőerőmű, illetve az alumíniumkohó elektrolízis üzemeinek bezárása volt.

A fentebb leírtakat alapul véve a jövőre nézve tehát a vizsgált térségben elsősorban a közlekedési eredetű szennyezőanyagok elleni védekezés jelentheti a fő problémakört (ugyanis a 8. számú főút forgalma jelentősen terheli Várpalota és Inota települését is).

Nehéz megfogalmazni mi is lehetne az a megoldás, amit mindenki a sajátjának érezhetne, és be is betartana. A levegőszennyezettség kialakulásának megakadályozására – főként a nitrogén-oxidok és a szálló por koncentrációja tekintetében – alkalmas intézkedés lehetne például a lámpás kereszteződések körforgalmi csomópontokra történő átépítése is, melynek következtében az átmenő forgalom a városon keresztül történő folyamatos, megállás nélküli áthaladással kevésbé terheli a levegőt. Hatékony megoldás lehetne továbbá Várpalotán a zöldterületek növelése, valamint a 8-as út menti fásítás, amely intézkedések szintén nagyban hozzájárulnának a város levegőjének javulásához.

ELLENŐRZŐ KÉRDÉSEK

Mutassa be az adatbázisok alkalmazásának jogi hátterét!

Milyen módszereket ismer az adatok kiértékelésére?

Ismertesse Várpalota levegőminőségének változását az elmúlt 30 év távlatában!

^[7] A „piszkos tizenkettő” névvel illetett városok közé tartozott. Így nevezték el a legszennyezettebb levegőjű városokat Magyarországon.

13. fejezet - Ajánlott irodalom

Dr. Szabó Imre (szerk.): Környezetinformatika Pannon Egyetem 2008. (elektronikus jegyzet http://mkweb.uni-pannon.hu/hefop33//anyagok.html)

Vág András: Statisztika online - oktatási portál Typotex, 2005 http://www.tankonyvtar.hu/konyvek/statisztika-online/statisztika-online-090211-11

Fidy Judit , Makara Gábor dr.: Biostatisztika Typotex, 2005 http://www.tankonyvtar.hu/statisztika/biostatisztika-080904-92

Michelberger Pál – Szeidl László – Várlaki Péter: Alkalmazott folyamatstatisztika és idősor-analízis, Alkalmazott matematika sorozat Typotex Kiadó, 2001

Borovkov, A. A: Matematikai statisztika Typotex Elektronikus Kiadó, 1999

Kröpfl-Peschek-Schneider-Schönlieb: Alkalmazott statisztika Műszaki Könyvkiadó, 2000

Szűcs István (szerk.): Alkalmazott statisztika Agroinform Kiadóház, 2004

Dr. Abonyi János (szerk.): Adatbányászat - a hatékonyság eszköze, Computerbooks 2006.

Dr. Bodon Ferenc: Adatbányászati algoritmusok, Budapesti Műszaki és Gazdaságtudományi Egyetem, 2010 (elektronikus jegyzet) http://www.cs.bme.hu/~bodon/magyar/adatbanyaszat/tanulmany/adatbanyaszat.pdf

Dr. Harnos Zsolt, Dr. Herdon Miklós (szerk): Informatikai alapok, Debreceni Egyetem Agrártudományi Centrum, Agrárgazdasági és Vidékfejlesztési Kar, 2006 (elektronikus jegyzet)

14. fejezet - Segédtáblázatok

1. Segédtáblázat: χ² eloszlás kritikus értékei (χ² próbához) 0,999-0,50 tartományban

DF\χ²	0,999	0,99	0,98	0,95	0,90	0,80	0,50
1	0,0000	0,0002	0,0006	0,0039	0,0158	0,0642	0,4549
2	0,0020	0,0201	0,0404	0,1026	0,2107	0,4463	1,3863
3	0,0243	0,1148	0,1848	0,3518	0,5844	1,0052	2,3660
4	0,0908	0,2971	0,4294	0,7107	1,0636	1,6488	3,3567
5	0,2102	0,5543	0,7519	1,1455	1,6103	2,3425	4,3515
6	0,3811	0,8721	1,1344	1,6354	2,2041	3,0701	5,3481
7	0,5985	1,2390	1,5643	2,1673	2,8331	3,8223	6,3458
8	0,8571	1,6465	2,0325	2,7326	3,4895	4,5936	7,3441
9	1,1519	2,0879	2,5324	3,3251	4,1682	5,3801	8,3428
10	1,4787	2,5582	3,0591	3,9403	4,8652	6,1791	9,3418
11	1,8339	3,0535	3,6087	4,5748	5,5778	6,9887	10,3410
12	2,2142	3,5706	4,1783	5,2260	6,3038	7,8073	11,3403
13	2,6172	4,1069	4,7654	5,8919	7,0415	8,6339	12,3398
14	3,0407	4,6604	5,3682	6,5706	7,7895	9,4673	13,3393
15	3,4827	5,2293	5,9849	7,2609	8,5468	10,3070	14,3389
16	3,9416	5,8122	6,6142	7,9616	9,3122	11,1521	15,3385
17	4,4161	6,4078	7,2550	8,6718	10,0852	12,0023	16,3382
18	4,9048	7,0149	7,9062	9,3905	10,8649	12,8570	17,3379
19	5,4068	7,6327	8,5670	10,1170	11,6509	13,7158	18,3377
20	5,9210	8,2604	9,2367	10,8508	12,4426	14,5784	19,3374
21	6,4467	8,8972	9,9146	11,5913	13,2396	15,4446	20,3372
22	6,9830	9,5425	10,6000	12,3380	14,0415	16,3140	21,3370
23	7,5292	10,1957	11,2926	13,0905	14,8480	17,1865	22,3369
24	8,0849	10,8564	11,9918	13,8484	15,6587	18,0618	23,3367
25	8,6493	11,5240	12,6973	14,6114	16,4734	18,9398	24,3366
26	9,2221	12,1981	13,4086	15,3792	17,2919	19,8202	25,3365
27	9,8028	12,8785	14,1254	16,1514	18,1139	20,7030	26,3363
28	10,3909	13,5647	14,8475	16,9279	18,9392	21,5880	27,3362
29	10,9861	14,2565	15,5745	17,7084	19,7677	22,4751	28,3361
30	11,5880	14,9535	16,3062	18,4927	20,5992	23,3641	29,3360
31	12,1963	15,6555	17,0423	19,2806	21,4336	24,2551	30,3359
32	12,8107	16,3622	17,7827	20,0719	22,2706	25,1478	31,3359
33	13,4309	17,0735	18,5271	20,8665	23,1102	26,0422	32,3358
34	14,0567	17,7891	19,2754	21,6643	23,9523	26,9383	33,3357
35	14,6878	18,5089	20,0274	22,4650	24,7967	27,8359	34,3356
36	15,3241	19,2327	20,7829	23,2686	25,6433	28,7350	35,3356
37	15,9653	19,9602	21,5419	24,0749	26,4921	29,6355	36,3355
38	16,6112	20,6914	22,3040	24,8839	27,3430	30,5373	37,3355
39	17,2616	21,4262	23,0693	25,6954	28,1958	31,4405	38,3354
40	17,9164	22,1643	23,8376	26,5093	29,0505	32,3450	39,3353
41	18,5754	22,9056	24,6087	27,3256	29,9071	33,2506	40,3353
42	19,2385	23,6501	25,3827	28,1440	30,7654	34,1574	41,3352
43	19,9055	24,3976	26,1594	28,9647	31,6255	35,0653	42,3352
44	20,5763	25,1480	26,9386	29,7875	32,4871	35,9743	43,3352
45	21,2507	25,9013	27,7203	30,6123	33,3504	36,8844	44,3351
46	21,9287	26,6572	28,5045	31,4390	34,2152	37,7955	45,3351
47	22,6101	27,4158	29,2910	32,2676	35,0814	38,7075	46,3350
48	23,2949	28,1770	30,0798	33,0981	35,9491	39,6205	47,3350
49	23,9828	28,9406	30,8708	33,9303	36,8182	40,5344	48,3350
50	24,6739	29,7067	31,6639	34,7643	37,6886	41,4492	49,3349
51	25,3680	30,4750	32,4590	35,5999	38,5604	42,3649	50,3349
52	26,0651	31,2457	33,2562	36,4371	39,4334	43,2814	51,3349
53	26,7650	32,0185	34,0553	37,2759	40,3076	44,1987	52,3348
54	27,4677	32,7934	34,8563	38,1162	41,1830	45,1167	53,3348
55	28,1731	33,5705	35,6592	38,9580	42,0596	46,0356	54,3348
56	28,8812	34,3495	36,4639	39,8013	42,9373	46,9552	55,3348
57	29,5918	35,1305	37,2702	40,6459	43,8161	47,8755	56,3347
58	30,3049	35,9135	38,0783	41,4920	44,6960	48,7965	57,3347
59	31,0204	36,6982	38,8881	42,3393	45,5770	49,7182	58,3347
60	31,7383	37,4849	39,6994	43,1880	46,4589	50,6406	59,3347
61	32,4586	38,2732	40,5123	44,0379	47,3418	51,5636	60,3346
62	33,1811	39,0633	41,3268	44,8890	48,2257	52,4873	61,3346
63	33,9058	39,8551	42,1428	45,7414	49,1105	53,4116	62,3346
64	34,6326	40,6486	42,9602	46,5949	49,9963	54,3365	63,3346
65	35,3616	41,4436	43,7790	47,4496	50,8829	55,2620	64,3346
66	36,0926	42,2402	44,5992	48,3054	51,7705	56,1880	65,3345
67	36,8257	43,0384	45,4208	49,1623	52,6588	57,1147	66,3345
68	37,5606	43,8380	46,2437	50,0202	53,5481	58,0418	67,3345
69	38,2976	44,6392	47,0680	50,8792	54,4381	58,9696	68,3345
70	39,0364	45,4417	47,8934	51,7393	55,3289	59,8978	69,3345
71	39,7770	46,2457	48,7202	52,6003	56,2206	60,8266	70,3345
72	40,5195	47,0510	49,5481	53,4623	57,1129	61,7558	71,3344
73	41,2637	47,8577	50,3773	54,3253	58,0061	62,6856	72,3344
74	42,0097	48,6657	51,2076	55,1892	58,9000	63,6158	73,3344
75	42,7573	49,4750	52,0391	56,0541	59,7946	64,5466	74,3344
76	43,5066	50,2856	52,8717	56,9198	60,6899	65,4777	75,3344
77	44,2576	51,0974	53,7054	57,7864	61,5858	66,4094	76,3344
78	45,0101	51,9104	54,5401	58,6539	62,4825	67,3415	77,3344
79	45,7642	52,7247	55,3760	59,5223	63,3799	68,2740	78,3343
80	46,5199	53,5401	56,2128	60,3915	64,2778	69,2069	79,3343
81	47,2770	54,3566	57,0507	61,2615	65,1765	70,1403	80,3343
82	48,0357	55,1743	57,8896	62,1323	66,0757	71,0741	81,3343
83	48,7958	55,9931	58,7295	63,0039	66,9756	72,0083	82,3343
84	49,5573	56,8130	59,5703	63,8763	67,8761	72,9429	83,3343
85	50,3203	57,6339	60,4121	64,7494	68,7772	73,8779	84,3343
86	51,0846	58,4559	61,2548	65,6233	69,6788	74,8132	85,3343
87	51,8503	59,2790	62,0984	66,4979	70,5810	75,7490	86,3342
88	52,6173	60,1030	62,9430	67,3732	71,4838	76,6851	87,3342
89	53,3856	60,9281	63,7884	68,2493	72,3872	77,6216	88,3342
90	54,1552	61,7541	64,6347	69,1260	73,2911	78,5584	89,3342
91	54,9261	62,5811	65,4818	70,0035	74,1955	79,4956	90,3342
92	55,6983	63,4090	66,3298	70,8816	75,1005	80,4332	91,3342
93	56,4716	64,2379	67,1786	71,7603	76,0060	81,3711	92,3342
94	57,2462	65,0677	68,0282	72,6398	76,9119	82,3093	93,3342
95	58,0220	65,8984	68,8786	73,5198	77,8184	83,2478	94,3342
96	58,7989	66,7299	69,7298	74,4005	78,7254	84,1867	95,3342
97	59,5770	67,5624	70,5817	75,2819	79,6329	85,1259	96,3342
98	60,3562	68,3957	71,4345	76,1638	80,5408	86,0654	97,3341
99	61,1365	69,2299	72,2880	77,0463	81,4493	87,0052	98,3341
100	61,9179	70,0649	73,1422	77,9295	82,3581	87,9453	99,3341
110	69,7894	78,4583	81,7228	86,7916	91,4710	97,3624	109,3341
120	77,7551	86,9233	90,3667	95,7046	100,6236	106,8056	119,3340
130	85,8037	95,4510	99,0662	104,6622	109,8110	116,2717	129,3339
140	93,9256	104,0344	107,8149	113,6593	119,0293	125,7581	139,3339
150	102,1133	112,6676	116,6076	122,6918	128,2751	135,2625	149,3339
160	110,3603	121,3456	125,4400	131,7561	137,5457	144,7834	159,3338
170	118,6611	130,0644	134,3084	140,8492	146,8389	154,3190	169,3338
180	127,0111	138,8204	143,2096	149,9688	156,1526	163,8682	179,3338
190	135,4061	147,6104	152,1411	159,1125	165,4853	173,4298	189,3338
200	143,8428	156,4320	161,1003	168,2786	174,8353	183,0028	199,3337
210	152,3180	165,2826	170,0852	177,4652	184,2014	192,5864	209,3337
220	160,8290	174,1604	179,0941	186,6711	193,5825	202,1798	219,3337
230	169,3734	183,0633	188,1253	195,8949	202,9775	211,7824	229,3337
240	177,9491	191,9899	197,1774	205,1354	212,3856	221,3936	239,3337
250	186,5541	200,9386	206,2490	214,3916	221,8059	231,0128	249,3337
260	195,1867	209,9082	215,3391	223,6625	231,2378	240,6396	259,3336
270	203,8453	218,8974	224,4465	232,9474	240,6804	250,2735	269,3336
280	212,5285	227,9051	233,5703	242,2454	250,1334	259,9142	279,3336
290	221,2349	236,9305	242,7096	251,5559	259,5960	269,5612	289,3336
300	229,9634	245,9725	251,8637	260,8781	269,0679	279,2143	299,3336
350	273,9020	291,4058	297,8312	307,6476	316,5504	327,5607	349,3336
400	318,2596	337,1553	344,0781	354,6410	364,2074	376,0218	399,3335
450	362,9598	383,1633	390,5532	401,8173	412,0071	424,5766	449,3335
500	407,9470	429,3875	437,2194	449,1468	459,9261	473,2099	499,3335
550	453,1789	475,7964	484,0486	496,6068	507,9470	521,9100	549,3335
600	498,6229	522,3651	531,0191	544,1801	556,0560	570,6680	599,3335
650	544,2530	569,0741	578,1134	591,8526	604,2424	619,4769	649,3335
700	590,0480	615,9075	625,3175	639,6130	652,4973	668,3308	699,3334
750	635,9907	662,8521	672,6198	687,4522	700,8136	717,2250	749,3334
800	682,0665	709,8969	720,0107	735,3623	749,1852	766,1555	799,3334
850	728,2630	757,0328	767,4820	783,3369	797,6070	815,1189	849,3334
900	774,5698	804,2517	815,0267	831,3702	846,0746	864,1125	899,3334
950	820,9778	851,5469	862,6386	879,4574	894,5842	913,1337	949,3334
1000	867,4791	898,9124	910,3127	927,5944	943,1326	962,1803	999,3334

2. Segédtáblázat: χ²eloszlás kritikus értékei (χ² próbához) 0,20-0,001 tartományban

DF\χ²	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
1	1,6424	2,7055	3,8415	5,4119	6,6349	10,8276
2	3,2189	4,6052	5,9915	7,8240	9,2103	13,8155
3	4,6416	6,2514	7,8147	9,8374	11,3449	16,2662
4	5,9886	7,7794	9,4877	11,6678	13,2767	18,4668
5	7,2893	9,2364	11,0705	13,3882	15,0863	20,5150
6	8,5581	10,6446	12,5916	15,0332	16,8119	22,4577
7	9,8032	12,0170	14,0671	16,6224	18,4753	24,3219
8	11,0301	13,3616	15,5073	18,1682	20,0902	26,1245
9	12,2421	14,6837	16,9190	19,6790	21,6660	27,8772
10	13,4420	15,9872	18,3070	21,1608	23,2093	29,5883
11	14,6314	17,2750	19,6751	22,6179	24,7250	31,2641
12	15,8120	18,5493	21,0261	24,0540	26,2170	32,9095
13	16,9848	19,8119	22,3620	25,4715	27,6882	34,5282
14	18,1508	21,0641	23,6848	26,8728	29,1412	36,1233
15	19,3107	22,3071	24,9958	28,2595	30,5779	37,6973
16	20,4651	23,5418	26,2962	29,6332	31,9999	39,2524
17	21,6146	24,7690	27,5871	30,9950	33,4087	40,7902
18	22,7595	25,9894	28,8693	32,3462	34,8053	42,3124
19	23,9004	27,2036	30,1435	33,6874	36,1909	43,8202
20	25,0375	28,4120	31,4104	35,0196	37,5662	45,3147
21	26,1711	29,6151	32,6706	36,3434	38,9322	46,7970
22	27,3015	30,8133	33,9244	37,6595	40,2894	48,2679
23	28,4288	32,0069	35,1725	38,9683	41,6384	49,7282
24	29,5533	33,1962	36,4150	40,2704	42,9798	51,1786
25	30,6752	34,3816	37,6525	41,5661	44,3141	52,6197
26	31,7946	35,5632	38,8851	42,8558	45,6417	54,0520
27	32,9117	36,7412	40,1133	44,1400	46,9629	55,4760
28	34,0266	37,9159	41,3371	45,4188	48,2782	56,8923
29	35,1394	39,0875	42,5570	46,6927	49,5879	58,3012
30	36,2502	40,2560	43,7730	47,9618	50,8922	59,7031
31	37,3591	41,4217	44,9853	49,2264	52,1914	61,0983
32	38,4663	42,5847	46,1943	50,4867	53,4858	62,4872
33	39,5718	43,7452	47,3999	51,7429	54,7755	63,8701
34	40,6756	44,9032	48,6024	52,9952	56,0609	65,2472
35	41,7780	46,0588	49,8018	54,2438	57,3421	66,6188
36	42,8788	47,2122	50,9985	55,4889	58,6192	67,9852
37	43,9782	48,3634	52,1923	56,7305	59,8925	69,3465
38	45,0763	49,5126	53,3835	57,9688	61,1621	70,7029
39	46,1730	50,6598	54,5722	59,2040	62,4281	72,0547
40	47,2685	51,8051	55,7585	60,4361	63,6907	73,4020
41	48,3628	52,9485	56,9424	61,6654	64,9501	74,7449
42	49,4560	54,0902	58,1240	62,8918	66,2062	76,0838
43	50,5480	55,2302	59,3035	64,1155	67,4593	77,4186
44	51,6389	56,3685	60,4809	65,3367	68,7095	78,7495
45	52,7288	57,5053	61,6562	66,5553	69,9568	80,0767
46	53,8177	58,6405	62,8296	67,7714	71,2014	81,4003
47	54,9056	59,7743	64,0011	68,9852	72,4433	82,7204
48	55,9926	60,9066	65,1708	70,1968	73,6826	84,0371
49	57,0786	62,0375	66,3386	71,4061	74,9195	85,3506
50	58,1638	63,1671	67,5048	72,6133	76,1539	86,6608
51	59,2481	64,2954	68,6693	73,8183	77,3860	87,9680
52	60,3316	65,4224	69,8322	75,0214	78,6158	89,2722
53	61,4142	66,5482	70,9935	76,2226	79,8433	90,5734
54	62,4961	67,6728	72,1532	77,4218	81,0688	91,8718
55	63,5772	68,7962	73,3115	78,6191	82,2921	93,1675
56	64,6576	69,9185	74,4683	79,8147	83,5134	94,4605
57	65,7373	71,0397	75,6237	81,0085	84,7328	95,7510
58	66,8162	72,1598	76,7778	82,2007	85,9502	97,0388
59	67,8945	73,2789	77,9305	83,3911	87,1657	98,3242
60	68,9721	74,3970	79,0819	84,5799	88,3794	99,6072
61	70,0490	75,5141	80,2321	85,7672	89,5913	100,8879
62	71,1253	76,6302	81,3810	86,9529	90,8015	102,1662
63	72,2010	77,7454	82,5287	88,1372	92,0100	103,4424
64	73,2761	78,8596	83,6753	89,3199	93,2169	104,7163
65	74,3506	79,9730	84,8206	90,5012	94,4221	105,9881
66	75,4245	81,0855	85,9649	91,6812	95,6257	107,2579
67	76,4978	82,1971	87,1081	92,8597	96,8278	108,5256
68	77,5707	83,3079	88,2502	94,0370	98,0284	109,7913
69	78,6429	84,4179	89,3912	95,2129	99,2275	111,0551
70	79,7146	85,5270	90,5312	96,3875	100,4252	112,3169
71	80,7859	86,6354	91,6702	97,5609	101,6214	113,5769
72	81,8566	87,7430	92,8083	98,7331	102,8163	114,8351
73	82,9268	88,8499	93,9453	99,9041	104,0098	116,0915
74	83,9965	89,9560	95,0815	101,0739	105,2020	117,3462
75	85,0658	91,0615	96,2167	102,2425	106,3929	118,5991
76	86,1346	92,1662	97,3510	103,4101	107,5825	119,8503
77	87,2030	93,2702	98,4844	104,5765	108,7709	121,1000
78	88,2709	94,3735	99,6169	105,7418	109,9581	122,3480
79	89,3383	95,4762	100,7486	106,9061	111,1440	123,5944
80	90,4053	96,5782	101,8795	108,0693	112,3288	124,8392
81	91,4720	97,6796	103,0095	109,2316	113,5124	126,0826
82	92,5382	98,7803	104,1387	110,3928	114,6949	127,3244
83	93,6039	99,8805	105,2672	111,5530	115,8763	128,5648
84	94,6693	100,9800	106,3948	112,7123	117,0565	129,8037
85	95,7343	102,0789	107,5217	113,8706	118,2357	131,0412
86	96,7990	103,1773	108,6479	115,0279	119,4139	132,2773
87	97,8632	104,2750	109,7733	116,1844	120,5910	133,5121
88	98,9271	105,3722	110,8980	117,3400	121,7671	134,7455
89	99,9906	106,4689	112,0220	118,4946	122,9422	135,9776
90	101,0537	107,5650	113,1453	119,6485	124,1163	137,2084
91	102,1165	108,6606	114,2679	120,8014	125,2895	138,4379
92	103,1790	109,7556	115,3898	121,9535	126,4617	139,6661
93	104,2411	110,8502	116,5110	123,1048	127,6329	140,8931
94	105,3028	111,9442	117,6317	124,2553	128,8032	142,1189
95	106,3643	113,0377	118,7516	125,4049	129,9727	143,3435
96	107,4254	114,1307	119,8709	126,5538	131,1412	144,5670
97	108,4862	115,2232	120,9896	127,7019	132,3089	145,7892
98	109,5467	116,3153	122,1077	128,8492	133,4757	147,0104
99	110,6068	117,4069	123,2252	129,9958	134,6416	148,2304
100	111,6667	118,4980	124,3421	131,1417	135,8067	149,4493
110	122,2495	129,3851	135,4802	142,5617	147,4143	161,5807
120	132,8063	140,2326	146,5674	153,9182	158,9502	173,6174
130	143,3401	151,0452	157,6099	165,2192	170,4231	185,5710
140	153,8537	161,8270	168,6130	176,4709	181,8403	197,4508
150	164,3492	172,5812	179,5806	187,6785	193,2077	209,2646
160	174,8283	183,3106	190,5165	198,8464	204,5301	221,0190
170	185,2926	194,0174	201,4234	209,9782	215,8117	232,7194
180	195,7434	204,7037	212,3039	221,0772	227,0561	244,3705
190	206,1818	215,3711	223,1602	232,1460	238,2664	255,9763
200	216,6088	226,0210	233,9943	243,1869	249,4451	267,5405
210	227,0252	236,6549	244,8076	254,2021	260,5947	279,0661
220	237,4317	247,2739	255,6018	265,1934	271,7172	290,5558
230	247,8291	257,8788	266,3781	276,1623	282,8145	302,0120
240	258,2179	268,4707	277,1376	287,1103	293,8881	313,4369
250	268,5986	279,0504	287,8815	298,0388	304,9396	324,8324
260	278,9718	289,6186	298,6106	308,9489	315,9702	336,2003
270	289,3379	300,1759	309,3258	319,8416	326,9811	347,5422
280	299,6972	310,7230	320,0278	330,7179	337,9735	358,8595
290	310,0502	321,2604	330,7174	341,5786	348,9483	370,1534
300	320,3971	331,7885	341,3951	352,4246	359,9064	381,4252
350	372,0506	384,3060	394,6258	406,4574	414,4736	437,4883
400	423,5895	436,6490	447,6325	460,2108	468,7245	493,1318
450	475,0347	488,8493	500,4562	513,7359	522,7169	548,4324
500	526,4014	540,9303	553,1268	567,0698	576,4928	603,4460
550	577,7013	592,9095	605,6668	620,2407	630,0842	658,2147
600	628,9433	644,8004	658,0936	673,2703	683,5156	712,7712
650	680,1344	696,6141	710,4211	726,1761	736,8067	767,1415
700	731,2805	748,3591	762,6607	778,9721	789,9735	821,3468
750	782,3863	800,0428	814,8215	831,6698	843,0290	875,4044
800	833,4557	851,6712	866,9114	884,2789	895,9843	929,3289
850	884,4923	903,2495	918,9369	936,8077	948,8485	983,1326
900	935,4987	954,7819	970,9036	989,2631	1001,6296	1036,8260
950	986,4775	1006,2723	1022,8164	1041,6512	1054,3344	1090,4182
1000	1037,4309	1057,7239	1074,6794	1093,9772	1106,9690	1143,9171

3. segédtáblázat: Student-eloszlás kritikus értékei (kétoldali t-próbához) 0,90-0,30 tartományban

DF\t	0,90	0,80	0,70	0,60	0,50	0,40	0,30
1	0,1584	0,3249	0,5095	0,7265	1,0000	1,3764	1,9626
2	0,1421	0,2887	0,4447	0,6172	0,8165	1,0607	1,3862
3	0,1366	0,2767	0,4242	0,5844	0,7649	0,9785	1,2498
4	0,1338	0,2707	0,4142	0,5686	0,7407	0,9410	1,1896
5	0,1322	0,2672	0,4082	0,5594	0,7267	0,9195	1,1558
6	0,1311	0,2648	0,4043	0,5534	0,7176	0,9057	1,1342
7	0,1303	0,2632	0,4015	0,5491	0,7111	0,8960	1,1192
8	0,1297	0,2619	0,3995	0,5459	0,7064	0,8889	1,1081
9	0,1293	0,2610	0,3979	0,5435	0,7027	0,8834	1,0997
10	0,1289	0,2602	0,3966	0,5415	0,6998	0,8791	1,0931
11	0,1286	0,2596	0,3956	0,5399	0,6974	0,8755	1,0877
12	0,1283	0,2590	0,3947	0,5386	0,6955	0,8726	1,0832
13	0,1281	0,2586	0,3940	0,5375	0,6938	0,8702	1,0795
14	0,1280	0,2582	0,3933	0,5366	0,6924	0,8681	1,0763
15	0,1278	0,2579	0,3928	0,5357	0,6912	0,8662	1,0735
16	0,1277	0,2576	0,3923	0,5350	0,6901	0,8647	1,0711
17	0,1276	0,2573	0,3919	0,5344	0,6892	0,8633	1,0690
18	0,1274	0,2571	0,3915	0,5338	0,6884	0,8620	1,0672
19	0,1274	0,2569	0,3912	0,5333	0,6876	0,8610	1,0655
20	0,1273	0,2567	0,3909	0,5329	0,6870	0,8600	1,0640
21	0,1272	0,2566	0,3906	0,5325	0,6864	0,8591	1,0627
22	0,1271	0,2564	0,3904	0,5321	0,6858	0,8583	1,0614
23	0,1271	0,2563	0,3902	0,5317	0,6853	0,8575	1,0603
24	0,1270	0,2562	0,3900	0,5314	0,6848	0,8569	1,0593
25	0,1269	0,2561	0,3898	0,5312	0,6844	0,8562	1,0584
26	0,1269	0,2560	0,3896	0,5309	0,6840	0,8557	1,0575
27	0,1268	0,2559	0,3894	0,5306	0,6837	0,8551	1,0567
28	0,1268	0,2558	0,3893	0,5304	0,6834	0,8546	1,0560
29	0,1268	0,2557	0,3892	0,5302	0,6830	0,8542	1,0553
30	0,1267	0,2556	0,3890	0,5300	0,6828	0,8538	1,0547
31	0,1267	0,2555	0,3889	0,5298	0,6825	0,8534	1,0541
32	0,1267	0,2555	0,3888	0,5297	0,6822	0,8530	1,0535
33	0,1266	0,2554	0,3887	0,5295	0,6820	0,8526	1,0530
34	0,1266	0,2553	0,3886	0,5294	0,6818	0,8523	1,0525
35	0,1266	0,2553	0,3885	0,5292	0,6816	0,8520	1,0520
36	0,1266	0,2552	0,3884	0,5291	0,6814	0,8517	1,0516
37	0,1265	0,2552	0,3883	0,5289	0,6812	0,8514	1,0512
38	0,1265	0,2551	0,3882	0,5288	0,6810	0,8512	1,0508
39	0,1265	0,2551	0,3882	0,5287	0,6808	0,8509	1,0504
40	0,1265	0,2550	0,3881	0,5286	0,6807	0,8507	1,0500
41	0,1264	0,2550	0,3880	0,5285	0,6805	0,8505	1,0497
42	0,1264	0,2550	0,3880	0,5284	0,6804	0,8503	1,0494
43	0,1264	0,2549	0,3879	0,5283	0,6802	0,8501	1,0491
44	0,1264	0,2549	0,3878	0,5282	0,6801	0,8499	1,0488
45	0,1264	0,2549	0,3878	0,5281	0,6800	0,8497	1,0485
46	0,1264	0,2548	0,3877	0,5281	0,6799	0,8495	1,0483
47	0,1263	0,2548	0,3877	0,5280	0,6797	0,8493	1,0480
48	0,1263	0,2548	0,3876	0,5279	0,6796	0,8492	1,0478
49	0,1263	0,2547	0,3876	0,5278	0,6795	0,8490	1,0475
50	0,1263	0,2547	0,3875	0,5278	0,6794	0,8489	1,0473
51	0,1263	0,2547	0,3875	0,5277	0,6793	0,8487	1,0471
52	0,1263	0,2546	0,3875	0,5276	0,6792	0,8486	1,0469
53	0,1263	0,2546	0,3874	0,5276	0,6791	0,8485	1,0467
54	0,1263	0,2546	0,3874	0,5275	0,6791	0,8483	1,0465
55	0,1262	0,2546	0,3873	0,5275	0,6790	0,8482	1,0463
56	0,1262	0,2546	0,3873	0,5274	0,6789	0,8481	1,0461
57	0,1262	0,2545	0,3873	0,5273	0,6788	0,8480	1,0459
58	0,1262	0,2545	0,3872	0,5273	0,6787	0,8479	1,0458
59	0,1262	0,2545	0,3872	0,5272	0,6787	0,8478	1,0456
60	0,1262	0,2545	0,3872	0,5272	0,6786	0,8477	1,0455
61	0,1262	0,2545	0,3871	0,5272	0,6785	0,8476	1,0453
62	0,1262	0,2544	0,3871	0,5271	0,6785	0,8475	1,0452
63	0,1262	0,2544	0,3871	0,5271	0,6784	0,8474	1,0450
64	0,1262	0,2544	0,3871	0,5270	0,6783	0,8473	1,0449
65	0,1262	0,2544	0,3870	0,5270	0,6783	0,8472	1,0448
66	0,1261	0,2544	0,3870	0,5269	0,6782	0,8471	1,0446
67	0,1261	0,2544	0,3870	0,5269	0,6782	0,8470	1,0445
68	0,1261	0,2543	0,3870	0,5269	0,6781	0,8469	1,0444
69	0,1261	0,2543	0,3869	0,5268	0,6781	0,8469	1,0443
70	0,1261	0,2543	0,3869	0,5268	0,6780	0,8468	1,0442
71	0,1261	0,2543	0,3869	0,5268	0,6780	0,8467	1,0441
72	0,1261	0,2543	0,3869	0,5267	0,6779	0,8466	1,0440
73	0,1261	0,2543	0,3868	0,5267	0,6779	0,8466	1,0438
74	0,1261	0,2543	0,3868	0,5267	0,6778	0,8465	1,0437
75	0,1261	0,2542	0,3868	0,5266	0,6778	0,8464	1,0436
76	0,1261	0,2542	0,3868	0,5266	0,6777	0,8464	1,0436
77	0,1261	0,2542	0,3868	0,5266	0,6777	0,8463	1,0435
78	0,1261	0,2542	0,3867	0,5266	0,6776	0,8463	1,0434
79	0,1261	0,2542	0,3867	0,5265	0,6776	0,8462	1,0433
80	0,1261	0,2542	0,3867	0,5265	0,6776	0,8461	1,0432
81	0,1261	0,2542	0,3867	0,5265	0,6775	0,8461	1,0431
82	0,1261	0,2542	0,3867	0,5264	0,6775	0,8460	1,0430
83	0,1260	0,2542	0,3867	0,5264	0,6775	0,8460	1,0429
84	0,1260	0,2542	0,3866	0,5264	0,6774	0,8459	1,0429
85	0,1260	0,2541	0,3866	0,5264	0,6774	0,8459	1,0428
86	0,1260	0,2541	0,3866	0,5263	0,6774	0,8458	1,0427
87	0,1260	0,2541	0,3866	0,5263	0,6773	0,8458	1,0426
88	0,1260	0,2541	0,3866	0,5263	0,6773	0,8457	1,0426
89	0,1260	0,2541	0,3866	0,5263	0,6773	0,8457	1,0425
90	0,1260	0,2541	0,3866	0,5263	0,6772	0,8456	1,0424
91	0,1260	0,2541	0,3865	0,5262	0,6772	0,8456	1,0424
92	0,1260	0,2541	0,3865	0,5262	0,6772	0,8455	1,0423
93	0,1260	0,2541	0,3865	0,5262	0,6771	0,8455	1,0422
94	0,1260	0,2541	0,3865	0,5262	0,6771	0,8455	1,0422
95	0,1260	0,2541	0,3865	0,5262	0,6771	0,8454	1,0421
96	0,1260	0,2541	0,3865	0,5261	0,6771	0,8454	1,0421
97	0,1260	0,2540	0,3865	0,5261	0,6770	0,8453	1,0420
98	0,1260	0,2540	0,3865	0,5261	0,6770	0,8453	1,0419
99	0,1260	0,2540	0,3864	0,5261	0,6770	0,8453	1,0419
100	0,1260	0,2540	0,3864	0,5261	0,6770	0,8452	1,0418
110	0,1260	0,2540	0,3863	0,5259	0,6767	0,8449	1,0413
120	0,1259	0,2539	0,3862	0,5258	0,6765	0,8446	1,0409
130	0,1259	0,2539	0,3862	0,5257	0,6764	0,8444	1,0406
140	0,1259	0,2538	0,3861	0,5256	0,6762	0,8442	1,0403
150	0,1259	0,2538	0,3861	0,5255	0,6761	0,8440	1,0400
160	0,1259	0,2538	0,3860	0,5254	0,6760	0,8439	1,0398
170	0,1258	0,2537	0,3860	0,5254	0,6759	0,8437	1,0396
180	0,1258	0,2537	0,3859	0,5253	0,6759	0,8436	1,0394
190	0,1258	0,2537	0,3859	0,5253	0,6758	0,8435	1,0393
200	0,1258	0,2537	0,3859	0,5252	0,6757	0,8434	1,0391
210	0,1258	0,2537	0,3858	0,5252	0,6757	0,8433	1,0390
220	0,1258	0,2537	0,3858	0,5252	0,6756	0,8433	1,0389
230	0,1258	0,2536	0,3858	0,5251	0,6756	0,8432	1,0388
240	0,1258	0,2536	0,3858	0,5251	0,6755	0,8431	1,0387
250	0,1258	0,2536	0,3858	0,5251	0,6755	0,8431	1,0386
260	0,1258	0,2536	0,3857	0,5250	0,6754	0,8430	1,0385
270	0,1258	0,2536	0,3857	0,5250	0,6754	0,8430	1,0384
280	0,1258	0,2536	0,3857	0,5250	0,6754	0,8429	1,0384
290	0,1258	0,2536	0,3857	0,5250	0,6753	0,8429	1,0383
300	0,1258	0,2536	0,3857	0,5250	0,6753	0,8428	1,0382
350	0,1258	0,2535	0,3856	0,5249	0,6752	0,8426	1,0380
400	0,1257	0,2535	0,3856	0,5248	0,6751	0,8425	1,0378
450	0,1257	0,2535	0,3856	0,5248	0,6750	0,8424	1,0376
500	0,1257	0,2535	0,3855	0,5247	0,6750	0,8423	1,0375
550	0,1257	0,2535	0,3855	0,5247	0,6749	0,8423	1,0374
600	0,1257	0,2535	0,3855	0,5247	0,6749	0,8422	1,0373
650	0,1257	0,2535	0,3855	0,5247	0,6749	0,8422	1,0373
700	0,1257	0,2534	0,3855	0,5246	0,6748	0,8421	1,0372
750	0,1257	0,2534	0,3855	0,5246	0,6748	0,8421	1,0372
800	0,1257	0,2534	0,3855	0,5246	0,6748	0,8421	1,0371
850	0,1257	0,2534	0,3855	0,5246	0,6748	0,8420	1,0371
900	0,1257	0,2534	0,3854	0,5246	0,6748	0,8420	1,0370
950	0,1257	0,2534	0,3854	0,5246	0,6747	0,8420	1,0370
1000	0,1257	0,2534	0,3854	0,5246	0,6747	0,8420	1,0370
∞	0,1257	0,2533	0,3853	0,5244	0,6745	0,8416	1,0364

4. segédtáblázat: Student-eloszlás kritikus értékei (kétoldali t-próbához) 0,20-0,001 tartományban

DF\t	0,20	0,10	0,05	0,02	0,01	0,001
1	3,0777	6,3138	12,7062	31,8205	63,6567	636,6192
2	1,8856	2,9200	4,3027	6,9646	9,9248	31,5991
3	1,6377	2,3534	3,1824	4,5407	5,8409	12,9240
4	1,5332	2,1318	2,7764	3,7469	4,6041	8,6103
5	1,4759	2,0150	2,5706	3,3649	4,0321	6,8688
6	1,4398	1,9432	2,4469	3,1427	3,7074	5,9588
7	1,4149	1,8946	2,3646	2,9980	3,4995	5,4079
8	1,3968	1,8595	2,3060	2,8965	3,3554	5,0413
9	1,3830	1,8331	2,2622	2,8214	3,2498	4,7809
10	1,3722	1,8125	2,2281	2,7638	3,1693	4,5869
11	1,3634	1,7959	2,2010	2,7181	3,1058	4,4370
12	1,3562	1,7823	2,1788	2,6810	3,0545	4,3178
13	1,3502	1,7709	2,1604	2,6503	3,0123	4,2208
14	1,3450	1,7613	2,1448	2,6245	2,9768	4,1405
15	1,3406	1,7531	2,1314	2,6025	2,9467	4,0728
16	1,3368	1,7459	2,1199	2,5835	2,9208	4,0150
17	1,3334	1,7396	2,1098	2,5669	2,8982	3,9651
18	1,3304	1,7341	2,1009	2,5524	2,8784	3,9216
19	1,3277	1,7291	2,0930	2,5395	2,8609	3,8834
20	1,3253	1,7247	2,0860	2,5280	2,8453	3,8495
21	1,3232	1,7207	2,0796	2,5176	2,8314	3,8193
22	1,3212	1,7171	2,0739	2,5083	2,8188	3,7921
23	1,3195	1,7139	2,0687	2,4999	2,8073	3,7676
24	1,3178	1,7109	2,0639	2,4922	2,7969	3,7454
25	1,3163	1,7081	2,0595	2,4851	2,7874	3,7251
26	1,3150	1,7056	2,0555	2,4786	2,7787	3,7066
27	1,3137	1,7033	2,0518	2,4727	2,7707	3,6896
28	1,3125	1,7011	2,0484	2,4671	2,7633	3,6739
29	1,3114	1,6991	2,0452	2,4620	2,7564	3,6594
30	1,3104	1,6973	2,0423	2,4573	2,7500	3,6460
31	1,3095	1,6955	2,0395	2,4528	2,7440	3,6335
32	1,3086	1,6939	2,0369	2,4487	2,7385	3,6218
33	1,3077	1,6924	2,0345	2,4448	2,7333	3,6109
34	1,3070	1,6909	2,0322	2,4411	2,7284	3,6007
35	1,3062	1,6896	2,0301	2,4377	2,7238	3,5911
36	1,3055	1,6883	2,0281	2,4345	2,7195	3,5821
37	1,3049	1,6871	2,0262	2,4314	2,7154	3,5737
38	1,3042	1,6860	2,0244	2,4286	2,7116	3,5657
39	1,3036	1,6849	2,0227	2,4258	2,7079	3,5581
40	1,3031	1,6839	2,0211	2,4233	2,7045	3,5510
41	1,3025	1,6829	2,0195	2,4208	2,7012	3,5442
42	1,3020	1,6820	2,0181	2,4185	2,6981	3,5377
43	1,3016	1,6811	2,0167	2,4163	2,6951	3,5316
44	1,3011	1,6802	2,0154	2,4141	2,6923	3,5258
45	1,3006	1,6794	2,0141	2,4121	2,6896	3,5203
46	1,3002	1,6787	2,0129	2,4102	2,6870	3,5150
47	1,2998	1,6779	2,0117	2,4083	2,6846	3,5099
48	1,2994	1,6772	2,0106	2,4066	2,6822	3,5051
49	1,2991	1,6766	2,0096	2,4049	2,6800	3,5004
50	1,2987	1,6759	2,0086	2,4033	2,6778	3,4960
51	1,2984	1,6753	2,0076	2,4017	2,6757	3,4918
52	1,2980	1,6747	2,0066	2,4002	2,6737	3,4877
53	1,2977	1,6741	2,0057	2,3988	2,6718	3,4838
54	1,2974	1,6736	2,0049	2,3974	2,6700	3,4800
55	1,2971	1,6730	2,0040	2,3961	2,6682	3,4764
56	1,2969	1,6725	2,0032	2,3948	2,6665	3,4729
57	1,2966	1,6720	2,0025	2,3936	2,6649	3,4696
58	1,2963	1,6716	2,0017	2,3924	2,6633	3,4663
59	1,2961	1,6711	2,0010	2,3912	2,6618	3,4632
60	1,2958	1,6706	2,0003	2,3901	2,6603	3,4602
61	1,2956	1,6702	1,9996	2,3890	2,6589	3,4573
62	1,2954	1,6698	1,9990	2,3880	2,6575	3,4545
63	1,2951	1,6694	1,9983	2,3870	2,6561	3,4518
64	1,2949	1,6690	1,9977	2,3860	2,6549	3,4491
65	1,2947	1,6686	1,9971	2,3851	2,6536	3,4466
66	1,2945	1,6683	1,9966	2,3842	2,6524	3,4441
67	1,2943	1,6679	1,9960	2,3833	2,6512	3,4417
68	1,2941	1,6676	1,9955	2,3824	2,6501	3,4394
69	1,2939	1,6672	1,9949	2,3816	2,6490	3,4372
70	1,2938	1,6669	1,9944	2,3808	2,6479	3,4350
71	1,2936	1,6666	1,9939	2,3800	2,6469	3,4329
72	1,2934	1,6663	1,9935	2,3793	2,6459	3,4308
73	1,2933	1,6660	1,9930	2,3785	2,6449	3,4289
74	1,2931	1,6657	1,9925	2,3778	2,6439	3,4269
75	1,2929	1,6654	1,9921	2,3771	2,6430	3,4250
76	1,2928	1,6652	1,9917	2,3764	2,6421	3,4232
77	1,2926	1,6649	1,9913	2,3758	2,6412	3,4214
78	1,2925	1,6646	1,9908	2,3751	2,6403	3,4197
79	1,2924	1,6644	1,9905	2,3745	2,6395	3,4180
80	1,2922	1,6641	1,9901	2,3739	2,6387	3,4163
81	1,2921	1,6639	1,9897	2,3733	2,6379	3,4147
82	1,2920	1,6636	1,9893	2,3727	2,6371	3,4132
83	1,2918	1,6634	1,9890	2,3721	2,6364	3,4116
84	1,2917	1,6632	1,9886	2,3716	2,6356	3,4102
85	1,2916	1,6630	1,9883	2,3710	2,6349	3,4087
86	1,2915	1,6628	1,9879	2,3705	2,6342	3,4073
87	1,2914	1,6626	1,9876	2,3700	2,6335	3,4059
88	1,2912	1,6624	1,9873	2,3695	2,6329	3,4045
89	1,2911	1,6622	1,9870	2,3690	2,6322	3,4032
90	1,2910	1,6620	1,9867	2,3685	2,6316	3,4019
91	1,2909	1,6618	1,9864	2,3680	2,6309	3,4007
92	1,2908	1,6616	1,9861	2,3676	2,6303	3,3994
93	1,2907	1,6614	1,9858	2,3671	2,6297	3,3982
94	1,2906	1,6612	1,9855	2,3667	2,6291	3,3971
95	1,2905	1,6611	1,9853	2,3662	2,6286	3,3959
96	1,2904	1,6609	1,9850	2,3658	2,6280	3,3948
97	1,2903	1,6607	1,9847	2,3654	2,6275	3,3937
98	1,2902	1,6606	1,9845	2,3650	2,6269	3,3926
99	1,2902	1,6604	1,9842	2,3646	2,6264	3,3915
100	1,2901	1,6602	1,9840	2,3642	2,6259	3,3905
110	1,2893	1,6588	1,9818	2,3607	2,6213	3,3812
120	1,2886	1,6577	1,9799	2,3578	2,6174	3,3735
130	1,2881	1,6567	1,9784	2,3554	2,6142	3,3669
140	1,2876	1,6558	1,9771	2,3533	2,6114	3,3614
150	1,2872	1,6551	1,9759	2,3515	2,6090	3,3566
160	1,2869	1,6544	1,9749	2,3499	2,6069	3,3524
170	1,2866	1,6539	1,9740	2,3485	2,6051	3,3487
180	1,2863	1,6534	1,9732	2,3472	2,6034	3,3454
190	1,2860	1,6529	1,9725	2,3461	2,6020	3,3425
200	1,2858	1,6525	1,9719	2,3451	2,6006	3,3398
210	1,2856	1,6521	1,9713	2,3442	2,5994	3,3375
220	1,2854	1,6518	1,9708	2,3434	2,5984	3,3353
230	1,2852	1,6515	1,9703	2,3427	2,5974	3,3333
240	1,2851	1,6512	1,9699	2,3420	2,5965	3,3315
250	1,2849	1,6510	1,9695	2,3414	2,5956	3,3299
260	1,2848	1,6507	1,9691	2,3408	2,5949	3,3283
270	1,2847	1,6505	1,9688	2,3402	2,5942	3,3269
280	1,2846	1,6503	1,9685	2,3397	2,5935	3,3256
290	1,2845	1,6501	1,9682	2,3393	2,5929	3,3244
300	1,2844	1,6499	1,9679	2,3388	2,5923	3,3233
350	1,2840	1,6492	1,9668	2,3370	2,5899	3,3185
400	1,2837	1,6487	1,9659	2,3357	2,5882	3,3150
450	1,2834	1,6482	1,9652	2,3347	2,5868	3,3123
500	1,2832	1,6479	1,9647	2,3338	2,5857	3,3101
550	1,2831	1,6476	1,9643	2,3331	2,5848	3,3083
600	1,2830	1,6474	1,9639	2,3326	2,5840	3,3068
650	1,2829	1,6472	1,9636	2,3321	2,5834	3,3056
700	1,2828	1,6470	1,9634	2,3317	2,5829	3,3045
750	1,2827	1,6469	1,9631	2,3313	2,5824	3,3035
800	1,2826	1,6468	1,9629	2,3310	2,5820	3,3027
850	1,2825	1,6466	1,9628	2,3307	2,5816	3,3020
900	1,2825	1,6465	1,9626	2,3305	2,5813	3,3014
950	1,2824	1,6465	1,9625	2,3303	2,5810	3,3008
1000	1,2824	1,6464	1,9623	2,3301	2,5808	3,3003
∞	1,2816	1,6449	1,9600	2,3263	2,5758	3,2905

5. segédtáblázat: Standard normális eloszlás

Használati példa: Ha a Z értéke 0,83, akkor az eloszlási értéket a 0,8x sorában és a 0,03 oszlopában találjuk meg (értéke 0,7967).

Z\x	0,00	0,01	0,02	0,03	0,04	0,05	0,06	0,07	0,08	0,09
0,0x	0,5000	0,5040	0,5080	0,5120	0,5160	0,5199	0,5239	0,5279	0,5319	0,5359
0,1x	0,5398	0,5438	0,5478	0,5517	0,5557	0,5596	0,5636	0,5675	0,5714	0,5753
0,2x	0,5793	0,5832	0,5871	0,5910	0,5948	0,5987	0,6026	0,6064	0,6103	0,6141
0,3x	0,6179	0,6217	0,6255	0,6293	0,6331	0,6368	0,6406	0,6443	0,6480	0,6517
0,4x	0,6554	0,6591	0,6628	0,6664	0,6700	0,6736	0,6772	0,6808	0,6844	0,6879
0,5x	0,6915	0,6950	0,6985	0,7019	0,7054	0,7088	0,7123	0,7157	0,7190	0,7224
0,6x	0,7257	0,7291	0,7324	0,7357	0,7389	0,7422	0,7454	0,7486	0,7517	0,7549
0,7x	0,7580	0,7611	0,7642	0,7673	0,7704	0,7734	0,7764	0,7794	0,7823	0,7852
0,8x	0,7881	0,7910	0,7939	0,7967	0,7995	0,8023	0,8051	0,8078	0,8106	0,8133
0,9x	0,8159	0,8186	0,8212	0,8238	0,8264	0,8289	0,8315	0,8340	0,8365	0,8389
1,0x	0,8413	0,8438	0,8461	0,8485	0,8508	0,8531	0,8554	0,8577	0,8599	0,8621
1,1x	0,8643	0,8665	0,8686	0,8708	0,8729	0,8749	0,8770	0,8790	0,8810	0,8830
1,2x	0,8849	0,8869	0,8888	0,8907	0,8925	0,8944	0,8962	0,8980	0,8997	0,9015
1,3x	0,9032	0,9049	0,9066	0,9082	0,9099	0,9115	0,9131	0,9147	0,9162	0,9177
1,4x	0,9192	0,9207	0,9222	0,9236	0,9251	0,9265	0,9279	0,9292	0,9306	0,9319
1,5x	0,9332	0,9345	0,9357	0,9370	0,9382	0,9394	0,9406	0,9418	0,9429	0,9441
1,6x	0,9452	0,9463	0,9474	0,9484	0,9495	0,9505	0,9515	0,9525	0,9535	0,9545
1,7x	0,9554	0,9564	0,9573	0,9582	0,9591	0,9599	0,9608	0,9616	0,9625	0,9633
1,8x	0,9641	0,9649	0,9656	0,9664	0,9671	0,9678	0,9686	0,9693	0,9699	0,9706
1,9x	0,9713	0,9719	0,9726	0,9732	0,9738	0,9744	0,9750	0,9756	0,9761	0,9767
2,0x	0,9772	0,9778	0,9783	0,9788	0,9793	0,9798	0,9803	0,9808	0,9812	0,9817
2,1x	0,9821	0,9826	0,9830	0,9834	0,9838	0,9842	0,9846	0,9850	0,9854	0,9857
2,2x	0,9861	0,9864	0,9868	0,9871	0,9875	0,9878	0,9881	0,9884	0,9887	0,9890
2,3x	0,9893	0,9896	0,9898	0,9901	0,9904	0,9906	0,9909	0,9911	0,9913	0,9916
2,4x	0,9918	0,9920	0,9922	0,9925	0,9927	0,9929	0,9931	0,9932	0,9934	0,9936
2,5x	0,9938	0,9940	0,9941	0,9943	0,9945	0,9946	0,9948	0,9949	0,9951	0,9952
2,6x	0,9953	0,9955	0,9956	0,9957	0,9959	0,9960	0,9961	0,9962	0,9963	0,9964
2,7x	0,9965	0,9966	0,9967	0,9968	0,9969	0,9970	0,9971	0,9972	0,9973	0,9974
2,8x	0,9974	0,9975	0,9976	0,9977	0,9977	0,9978	0,9979	0,9979	0,9980	0,9981
2,9x	0,9981	0,9982	0,9982	0,9983	0,9984	0,9984	0,9985	0,9985	0,9986	0,9986
3,0x	0,9987	0,9987	0,9987	0,9988	0,9988	0,9989	0,9989	0,9989	0,9990	0,9990
3,1x	0,9990	0,9991	0,9991	0,9991	0,9992	0,9992	0,9992	0,9992	0,9993	0,9993
3,2x	0,9993	0,9993	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9994	0,9995	0,9995	0,9995
3,3x	0,9995	0,9995	0,9995	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9996	0,9997
3,4x	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9997	0,9998
3,5x	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998	0,9998
3,6x	0,9998	0,9998	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,7x	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,8x	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999	0,9999
3,9x	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000	1,0000

i	Y_i	i	Y_i	i	Y_i
1	35	9	43	17	56
2	36	10	45	18	57
3	36	11	45	19	67
4	38	12	45	20	76
5	39	13	46	21	89
6	39	14	51	22	92
7	40	15	54	23	93
8	43	16	56	24	98

i	Y_i	i	Y_i	i	Y_i
1	35	9	43	17	56
2	36	10	45	18	57
3	36	11	45	19	67
4	38	12	45	20	76
5	39	13	46	21	89
6	39	14	51	22	92
7	40	15	54	23	93
8	43	16	56	24	98

i	Y_i	i	Y_i	i	Y_i
1	35	9	43	17	56
2	36	10	45	18	57
3	36	11	45	19	67
4	38	12	45	20	76
5	39	13	46	21	89
6	39	14	51	22	92
7	40	15	54	23	93
8	43	16	56	24	98